本文介绍了与函数连续性相关的定理及其在微积分中的应用，并结合示例进行了讨论。
定理 1
所有多项式函数以及函数 \( \sin x \)、\( \cos x \)、\( \arctan x \) 和 \( e^x \) 在区间 \( (-\infty, +\infty) \) 上都是连续的。
示例：利用连续性求极限
计算下列极限：
- \( \lim_{x\to 0} \sin (x) \)
- \( \lim_{x\to\pi} \cos (x) \)
- \( \lim_{x\to -1} \arctan(x) \)
解答：
如果函数 \( f \) 在 \( x = a \) 处连续，则 \( \lim_{x\to a} f(x) = f(a) \)。
- 由于 \( \sin(x) \) 是连续的：\( \lim_{x\to 0} \sin (x) = \sin(0) = 0 \)
- 由于 \( \cos(x) \) 是连续的：\( \lim_{x\to\pi} \cos (x) = \cos(\pi) = -1 \)
- 由于 \( \arctan(x) \) 是连续的：\( \lim_{x\to -1} \arctan(x) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4} \)
定理 2
如果函数 \( f \) 和 \( g \) 在 \( x = a \) 处连续，则：
- A. \( (f + g) \) 在 \( x = a \) 处连续。
- B. \( (f - g) \) 在 \( x = a \) 处连续。
- C. \( (f \cdot g) \) 在 \( x = a \) 处连续。
- D. 如果 \( g(a) \neq 0 \)，则 \( (f / g) \) 在 \( x = a \) 处连续。（若 \( g(a) = 0 \)，则 \( (f / g) \) 在 \( x = a \) 处不连续）。
示例：代数组合的连续性
设 \( f(x) = \sin x \) 且 \( g(x) = \cos x \)。函数 \( (f + g) \)、\( (f - g) \)、\( (f \cdot g) \) 和 \( (f / g) \) 在哪些区间上连续？
解答：
由于 \( \sin x \) 和 \( \cos x \) 在任何地方都是连续的，根据定理 2，\( (f + g) \)、\( (f - g) \) 和 \( (f \cdot g) \) 在全欧区间（处处）连续。
然而，\( (f / g) \) 在除了解析式分母 \( g(x) = 0 \) 之外的所有地方都是连续的。这些值通过求解得出：
\[ \cos x = 0 \]使 \( \cos x = 0 \) 的值为：
\[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{其中 } k \text{ 为任意整数。} \]因此，\( (f / g) \) 在除 \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) 之外的所有地方都是连续的。
定理 3
有理函数在除了使函数分母为零的 \( x \) 值之外的所有地方都是连续的。
示例：寻找不连续点
求函数 \( f \) 不连续的 \( x \) 值：
\[ f(x) = \frac{x - 2}{(2x^2 + 2x - 4)(x^4 + 5)} \]解答：
\( f \) 的分母是两项的乘积：
\[ (2x^2 + 2x - 4)(x^4 + 5) \]其中项 \( x^4 + 5 \) 恒为正，因此永远不等于零。我们现在通过求解来找出 \( 2x^2 + 2x - 4 \) 的零点：
\[ 2x^2 + 2x - 4 = 0 \]两边同除以 2 得到 \( x^2 + x - 2 = 0 \)，因式分解为 \( (x - 1)(x + 2) = 0 \)。
解得 \( x = 1 \) 和 \( x = -2 \)。
因此，函数 \( f \) 在 \( x = 1 \) 和 \( x = -2 \) 处不连续。
定理 4
如果 \( \lim_{x\to a} g(x) = L \) 且函数 \( f \) 在 \( x = L \) 处连续，则：
\[ \lim_{x\to a} f(g(x)) = f\left(\lim_{x\to a} g(x)\right) = f(L) \]示例：计算复合极限
计算极限：
\[ \lim_{x\to a} \sin(2x + 5) \]解答：
\( \sin x \) 在处处连续，且 \( 2x + 5 \) 是多项式（处处连续）。因此：
\[ \lim_{x\to a} \sin(2x + 5) = \sin\left(\lim_{x\to a}(2x + 5)\right) = \sin(2a + 5) \]定理 5
如果 \( g \) 在 \( x = a \) 处连续，且函数 \( f \) 在 \( g(a) \) 处连续，则复合函数 \( f \circ g \) 在 \( x = a \) 处连续。
示例：证明指数复合函数的连续性
证明形如 \( e^{ax + b} \) 的任何函数在处处连续，其中 \( a \) 和 \( b \) 是实数。
解答：
指数函数 \( f(x) = e^x \) 和线性函数 \( g(x) = ax + b \) 在处处连续。因此，它们的复合函数 \( f(g(x)) = e^{ax + b} \) 在处处也是连续的。