夹逼定理又称三明治定理，用于求极限。
在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。
夹逼定理
如果 \( f \)、\( g \) 和 \( h \) 是满足以下条件的函数：
\[ f(x) \le g(x) \le h(x) \]对于包含 \( a \) 的某个开区间内的所有 \( x \) 值（在 \( a \) 处可能除外），并且如果：
\[ \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L \]那么：
\[ \lim_{x \to a} g(x) = L \]带有解答的例题
点击每个例题以查看其详细的分步解答。
例题 1
求极限：
\[ \lim_{x \to 0} x^2 \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \]显示例题 1 的解答
当 \( x \) 趋近于 \( 0 \) 时，\( \dfrac{1}{x} \) 的绝对值变得非常大，而 \( \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \) 会剧烈振荡。
然而，\( \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \) 取值于区间 \([-1, 1]\) 内，这是余弦函数的值域。因此：
\[ -1 \le \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \le 1 \]将上述不等式的每一项乘以 \( x^2 \)（注意对于 \( x \neq 0 \)，\( x^2 > 0 \)）：
\[ -x^2 \le x^2 \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \le x^2 \]上述不等式对除 \( 0 \) 之外的任何 \( x \) 值均成立，而在 \( x = 0 \) 处 \( x^2 \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \) 是未定义的。当 \( x \) 趋近于 \( 0 \) 时，\( -x^2 \) 和 \( x^2 \) 都趋近于 \( 0 \)：
\[ \lim_{x \to 0} (-x^2) = 0 \quad \text{且} \quad \lim_{x \to 0} x^2 = 0 \]因此，根据夹逼定理，我们得到：
\[ \lim_{x \to 0} x^2 \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) = 0 \]例题 2
求极限：
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} \]显示例题 2 的解答
假设 \( 0 < x < \pi/2 \)，并考虑单位圆以及标准位置下中心角为 \( x \) 的扇形 \( OAC \)。\( A \) 是单位圆上的一个点，\( AB \) 是圆在点 \( A \) 处的切线，在此处形成直角。
点 \( C \) 是单位圆（半径等于 1）上的点，其坐标为 \( (\cos x, \sin x) \)。让我们求三角形 \( OAC \)、扇形 \( OAC \) 和直角三角形 \( OAB \) 的面积。
使用三角形面积的正弦公式：
\( \text{三角形 } OAC \text{ 的面积} = \dfrac{1}{2} \cdot OA \cdot OC \cdot \sin x = \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin x = \dfrac{1}{2} \sin x \)
使用扇形面积公式：
\( \text{扇形 } OAC \text{ 的面积} = \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot OC^2 = \dfrac{1}{2} x \)
直角三角形 \( OAB \) 的面积：
\( \text{直角三角形 } OAB \text{ 的面积} = \dfrac{1}{2} \cdot (\text{底}) \cdot (\text{高}) = \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan x = \dfrac{1}{2} \tan x \)
从几何上比较这三个面积，我们可以写出以下不等式：
\[ \text{三角形 } OAC \text{ 的面积} < \text{扇形 } OAC \text{ 的面积} < \text{直角三角形 } OAB \text{ 的面积} \]将面积用它们的表达式代换：
\[ \dfrac{1}{2} \sin x < \dfrac{1}{2} x < \dfrac{1}{2} \tan x \]将所有项乘以 \( \dfrac{2}{\sin x} \)（因为对于 \( 0 < x < \pi/2 \)，有 \( \sin x > 0 \)）：
\[ 1 < \dfrac{x}{\sin x} < \dfrac{1}{\cos x} \]取倒数并反转不等号：
\[ 1 > \dfrac{\sin x}{x} > \cos x \]等价于：
\[ \cos x < \dfrac{\sin x}{x} < 1 \]可以证明该不等式对于 \( -\pi/2 < x < 0 \) 也成立，因此该不等式对 \( 0 \) 附近开区间内的所有 \( x \)（除了 \( \dfrac{\sin x}{x} \) 未定义的 \( x = 0 \)）均成立。由于：
\[ \lim_{x \to 0} \cos x = 1 \quad \text{且} \quad \lim_{x \to 0} 1 = 1 \]我们可以应用夹逼定理得出：
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \]这个基本极限对于求其他三角函数的极限以及计算它们的导数至关重要。