洛必达法则允许我们将一个极限问题替换为另一个可能更易求解的问题。本文呈现了几个示例及其解答和详细解释。
在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。
洛必达法则
如果 \( \lim_{x \to a} f(x) = 0 \) 且 \( \lim_{x \to a} g(x) = 0 \)（或者两者都趋近于 \( \pm\infty \)），并且如果 \( \lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \) 具有有限值 \( L \)，或者是 \( +\infty \) 或 \( -\infty \) 的形式，那么：
\[ \lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \]其中 \( \lim \) 代表 \( \lim_{x \to a} \)、\( \lim_{x \to a^+} \)、\( \lim_{x \to a^-} \)、\( \lim_{x \to +\infty} \) 或 \( \lim_{x \to -\infty} \)。
\( f'(x) \) 和 \( g'(x) \) 分别是 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 的导数。
带有详细解答的例题
点击每个例题以查看其详细的分步解答。
例题 1
求极限 \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} \)
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由于：
\[ \lim_{x \to 0} \sin x = 0 \]并且
\[ \lim_{x \to 0} x = 0 \]可以使用洛必达法则来计算上述极限，如下所示：
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{d(\sin x)}{dx}}{\dfrac{d(x)}{dx}} \] \[ = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{1} = \dfrac{\cos 0}{1} = 1 \]例题 2
求极限 \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} \)
显示解答
注意：
\[ \lim_{x \to 0} (e^x - 1) = 0 \]并且
\[ \lim_{x \to 0} x = 0 \]我们可以使用洛必达法则来计算给定的极限，如下所示：
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{d(e^x - 1)}{dx}}{\dfrac{d(x)}{dx}} \] \[ = \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x}{1} = \dfrac{e^0}{1} = 1 \]例题 3
求极限 \( \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} \)
显示解答
因为分子的极限：
\[ \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = 0 \]以及分母的极限：
\[ \lim_{x \to 1} (x - 1) = 0 \]都等于零，我们可以使用洛必达法则来计算极限：
\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{\dfrac{d(x^2 - 1)}{dx}}{\dfrac{d(x - 1)}{dx}} \] \[ = \lim_{x \to 1} \dfrac{2x}{1} = \dfrac{2(1)}{1} = 2 \]注意：同样的极限也可以通过先因式分解来计算：
\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \]例题 4
求极限 \( \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\ln(x - 1)}{x - 2} \)
显示解答
分子的极限：
\[ \lim_{x \to 2} \ln(x - 1) = \ln(1) = 0 \]分母的极限：
\[ \lim_{x \to 2} (x - 2) = 0 \]两个极限都等于零，因此可以使用洛必达法则：
\[ \lim_{x \to 2} \dfrac{\ln(x - 1)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \dfrac{\dfrac{d(\ln(x - 1))}{dx}}{\dfrac{d(x - 2)}{dx}} \] \[ = \lim_{x \to 2} \dfrac{\dfrac{1}{x - 1}}{1} = \dfrac{\dfrac{1}{2 - 1}}{1} = 1 \]例题 5
求极限 \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{6x^2} \)
显示解答
分子和分母的极限：
\[ \lim_{x \to 0} (1 - \cos x) = 0 \quad \text{且} \quad \lim_{x \to 0} 6x^2 = 0 \]可以使用洛必达法则：
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{6x^2} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{12x} \]新的极限仍然是未定式 \( \dfrac{0}{0} \)，我们可以第二次应用洛必达法则：
\[ = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{12} = \dfrac{\cos 0}{12} = \dfrac{1}{12} \]练习题
计算下列极限。点击每个练习以检查答案。
练习 1
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{\sin 2x} \)
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练习 2
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} \)
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练习 3
\( \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\ln x}{3x - 3} \)
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练习 4
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{\sin 2x} \)