什么是参数方程？

参数方程将曲线的坐标 x 和 y 表示为第三个独立变量（称为参数，通常为 t）的函数。它们常用于微积分和物理学中描述复杂的曲线和运动。

参数方程 – 定义、示例与解答

本文介绍了参数方程及其示例和解答。其中还包含更多带有解答的问题。

在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。

例题

点击每个例题以查看其详细的分步解答。

例题 1

有些曲线最好使用关于[1] [2]参数的参数方程 \( x \) 和 \( y \) 来描述。
以下是关于参数 \( t \) 的参数方程 \( x(t) \) 和 \( y(t) \) 的一个例子：

\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= t \\ y(t) &= 0.5 t^2 \qquad \text{其中} \; t \in [0, 3] \end{aligned} \right. \]

显示例题 1 的解答与分析

通过求出参数 \( t \) 在不同取值下的 \( x \) 和 \( y \) 坐标来绘制曲线的图像：

Table of Values of Parametric Equations — 表 1. \( x(t) = t \) 和 \( y(t) = 0.5 t^2 \) 的数值表

\( t \) 的每一个取值都决定了一个在坐标系中绘制的点 \( (x, y) \)。随着 \( t \) 的变化，点 \( (x(t), y(t)) \) 描绘出一条称为参数曲线的曲线。红色箭头表示参数 \( t \) 增大的方向。

Example of Parametric Equations — 图 1. 参数曲线 \( x(t) = t \) 和 \( y(t) = 0.5 t^2 \) 的图像

注意，所得到的曲线是通过消去 \( t \) 得到的抛物线的一部分：
解第一个方程 \( x(t) = t \) 得 \( t = x \)。
将 \( t \) 代入第二个方程 \( y(t) = 0.5 t^2 \)：

\[ y = 0.5 x^2 \]

当 \( t \) 的取值范围在 \( [0, 3] \) 时，仅显示了该抛物线的一部分。

例题 2

这个例子展示了使用简单的参数方程来描述复杂曲线的优势。下面的参数方程描述了电气工程中使用的利萨茹曲线。
设：

\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= \sin t + 1 \\ y(t) &= \sin 2t + 2 \qquad \text{其中} \; t \in [0, 2\pi] \end{aligned} \right. \]

显示例题 2 的解答与分析

Table of Values of Lissajous Curves — 表 2. \( x(t) = \sin t + 1 \) 和 \( y(t) = \sin 2t + 2 \) 的数值表

Plot of Lissajous Curves — 图 2. 利萨茹参数曲线图像

让我们通过消去参数 \( t \) 来求出直角坐标系下的曲线方程：

第一个方程给出：

\[ \sin t = x - 1 \]

利用三角恒等式 \( \sin(2t) = 2\sin t \cos t \)，重写第二个方程：

\[ y = 2\sin t \cos t + 2 \]

由于 \( \cos t = \pm\sqrt{1 - \sin^2 t} \)：

\[ y = \pm 2\sin t \sqrt{1 - \sin^2 t} + 2 \]

代入 \( \sin t = x - 1 \)：

\[ y = \pm 2(x - 1)\sqrt{1 - (x - 1)^2} + 2 \implies y - 2 = \pm 2(x - 1)\sqrt{1 - (x - 1)^2} \]

两边平方并化简，得到单一的直角坐标方程：

\[ (y - 2)^2 = 4(x - 1)^2(2x - x^2) \]

注意：这证明了参数方程在表示用直角坐标描述时非常繁琐的复杂曲线时的简洁性。

问题

为下面每组参数方程求出直角坐标系下的曲线方程，并绘制出相应的曲线图像。

\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= t^3 - 1 \\ y(t) &= \dfrac{1}{t - 1} \qquad \text{其中} \; t \in [-1, 1.5] \end{aligned} \right. \]

\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= 2\sin t - 3 \\ y(t) &= 2\cos t + 4 \qquad \text{其中} \; t \in [0, 2\pi] \end{aligned} \right. \]

\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= 2\cos(2t) \\ y(t) &= \sin t - 1 \qquad \text{其中} \; t \in [0, 2\pi] \end{aligned} \right. \]

练习题解答

问题 1 解答

显示问题 1 的解答

从 \( x = t^3 - 1 \) 中解出 \( t \)：

\[ t = \sqrt[3]{x + 1} \]

将 \( t \) 代入 \( y \) 中：

\[ \boxed{y = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x + 1} - 1}} \]

问题 2 解答

显示问题 2 的解答

将方程重写为：

\[ \sin t = \dfrac{x + 3}{2}, \quad \cos t = \dfrac{y - 4}{2} \]

代入恒等式 \( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \) 中：

\[ \left(\dfrac{x + 3}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{y - 4}{2}\right)^2 = 1 \]

化简得到标准圆方程：

\[ \boxed{(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 2^2} \]

注意：这是一个圆心在 \( (-3, 4) \)、半径为 \( 2 \) 的圆。

问题 3 解答

显示问题 3 的解答

利用三角恒等式 \( \cos(2t) = 1 - 2\sin^2 t \)：

\[ x = 2(1 - 2\sin^2 t) \]

由 \( y = \sin t - 1 \)，我们得到 \( \sin t = y + 1 \)。将其代入 \( x \) 的方程中：

\[ \boxed{x = 2 - 4(y + 1)^2} \]

注意：这表示一个水平轴、顶点在 \( (2, -1) \) 的抛物线。

Plot of Curves Given by Parametric Equations — 图 3. 上述所有参数方程给出的曲线图像

例题