参数方程的一阶与二阶导数
给定以下形式的参数方程：
\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) \\ y(t) \end{aligned} \right. \]求导数 \( \dfrac{dy}{dx} \)
首先，使用微分的链式法则求出导数 \( \dfrac{dy}{dt} \)：
\[ \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \dfrac{dx}{dt} \]两边同除以 \( \dfrac{dx}{dt} \) 并化简得到：
\[ \boxed{\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} \qquad \text{if} \; \dfrac{dx}{dt} \ne 0} \qquad (I) \]二阶导数定义为：
\[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{dy}{dx}\right) \]将上述公式 (I) 中的 \( y \) 替换为 \( \dfrac{dy}{dx} \)，得到：
\[ \boxed{ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{\dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{dy}{dx} \right)}{\dfrac{dx}{dt}} } \qquad (II) \]例题与解答
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例题 1
给定以下形式的参数方程：
\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= 2t + 1 \\ y(t) &= t^2 - 2 \end{aligned} \right. \]求导数 \( \dfrac{dy}{dx} \)
显示例题 1 的解答
求 \( \dfrac{dy}{dt} \) 和 \( \dfrac{dx}{dt} \)：
\[ \dfrac{dy}{dt} = 2t, \quad \dfrac{dx}{dt} = 2 \]使用公式 (I) 得到：
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{2t}{2} = t \qquad (I) \]我们也可以用 \( x \) 来表示 \( \dfrac{dy}{dx} \)。利用参数方程 \( x = 2t + 1 \) 求出 \( t \) 关于 \( x \) 的表达式：
\[ t = \dfrac{x - 1}{2} \]将 \( t \) 代入方程 (I)：
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x - 1}{2} \]例题 2
a) 给定参数方程，求一阶导数 \( \dfrac{dy}{dx} \) 和二阶导数 \( \dfrac{d^2 y}{dx^2} \)：
\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= 2(t - \sin t) \\ y(t) &= 2(1 - \cos t) \end{aligned} \right. \]并确定曲线的凹凸性。
b) 使用图形计算工具验证 a 部分的凹凸性结论。
显示例题 2 的解答
a)
求 \( \dfrac{dy}{dt} \) 和 \( \dfrac{dx}{dt} \)：
\[ \dfrac{dy}{dt} = 2\sin t, \quad \dfrac{dx}{dt} = 2(1 - \cos t) \]使用公式 (I) 求 \( \dfrac{dy}{dx} \)：
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{2\sin t}{2(1 - \cos t)} = \dfrac{\sin t}{1 - \cos t} \]接下来，计算 \( \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right) \)：
\[ \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\sin t}{1 - \cos t} \right) = \dfrac{\cos t(1 - \cos t) - \sin t(\sin t)}{(1 - \cos t)^2} = \dfrac{\cos t - \cos^2 t - \sin^2 t}{(1 - \cos t)^2} = \dfrac{\cos t - 1}{(1 - \cos t)^2} = -\dfrac{1}{1 - \cos t} = \dfrac{1}{\cos t - 1} \]使用公式 (II) 得到二阶导数：
\[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{\dfrac{1}{\cos t - 1}}{2(1 - \cos t)} = -\dfrac{1}{2(\cos t - 1)^2} \]二阶导数始终为负数（分母为 0 的点除外），因此该参数方程的曲线是向下凹的（凹弧）。
b)
给定参数方程的图像（被称为摆线）证实了该曲线完全是向下凹的。
例题 3
a) 绘制由下列参数方程定义的曲线：
\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= \sin t \\ y(t) &= \sin t \cos t \end{aligned} \right., \quad t \in [0, 2\pi] \]b) 求一阶导数 \( \dfrac{dy}{dx} \)、在点 \( (0, 0) \) 处的切线方程，并将其画出。
显示例题 3 的解答
a)
b)
求导数 \( \dfrac{dy}{dt} \) 和 \( \dfrac{dx}{dt} \)：
\[ \dfrac{dy}{dt} = \cos^2 t - \sin^2 t, \quad \dfrac{dx}{dt} = \cos t \]使用公式 (I) 求 \( \dfrac{dy}{dx} \)：
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\cos^2 t - \sin^2 t}{\cos t} \]通过在 \( t \in [0, 2\pi] \) 范围内求解 \( \sin t = 0 \) 和 \( \sin t \cos t = 0 \)，找出使 \( (x, y) = (0, 0) \) 的 \( t \) 值：
\[ t = 0 \quad \text{and} \quad t = \pi \]在 \( t = 0 \) 处计算 \( \dfrac{dy}{dx} \) 以得到第一个斜率 \( m_1 \)：
\[ m_1 = \dfrac{\cos^2 0 - \sin^2 0}{\cos 0} = 1 \]在 \( t = \pi \) 处计算 \( \dfrac{dy}{dx} \) 以得到第二个斜率 \( m_2 \)：
\[ m_2 = \dfrac{\cos^2 \pi - \sin^2 \pi}{\cos \pi} = -1 \]在 \( (0, 0) \) 处的切线方程为：
\[ y = x \quad \text{and} \quad y = -x \]
问题
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问题 1
a) 给定参数方程 \( \left\{ \begin{aligned} x(t) &= \cos t + 2 \\ y(t) &= \sin t - 1 \end{aligned} \right., t \in [\pi, 2\pi] \)，求 \( t = \dfrac{3\pi}{2} \) 处的导数 \( \dfrac{dy}{dx} \)。
b) 该曲线的凹凸性如何？
c) 绘制曲线并检查您的答案。 -
问题 2
极坐标下的曲线方程为 \( r = 3 - 3\cos\theta \)。
a) 求当 \( \theta = \dfrac{\pi}{4} \) 时曲线切线的斜率。
b) 求使曲线切线水平的 \( \theta \) 和 \( r \) 值。
c) 在极坐标系中绘制 \( r \) 的图形并检查您的答案。 -
问题 3
在极坐标系中，以原点为中心、半径为 \( R \) 的圆的方程为 \( r = R \)。求以原点为中心、半径为 2 的圆上所有切线斜率等于 \( \dfrac{1}{2} \) 的点的直角坐标。
练习题解答
问题 1 解答
显示问题 1 的解答
a) 求 \( \dfrac{dy}{dt} \) 和 \( \dfrac{dx}{dt} \)：
\[ \dfrac{dy}{dt} = \cos t, \quad \dfrac{dx}{dt} = -\sin t \] \[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\cos t}{-\sin t} = -\cot t \]在 \( t = \dfrac{3\pi}{2} \) 处计算：
\[ \dfrac{dy}{dx} = -\cot\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = 0 \]b) 计算二阶导数 \( \dfrac{d^2 y}{dx^2} \)：
\[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{\dfrac{d}{dt}(-\cot t)}{-\sin t} = \dfrac{\csc^2 t}{-\sin t} = -\csc^3 t \]由于 \( \csc t = \dfrac{1}{\sin t} \) 在 \( (\pi, 2\pi) \) 上为负，因此二阶导数 \( -\csc^3 t \) 为正，这意味着该曲线在 \( (\pi, 2\pi) \) 上是向上凹的（凸弧）。
问题 2 解答
显示问题 2 的解答
a) 使用极坐标与直角坐标互化：
\[ x(\theta) = (3 - 3\cos\theta)\cos\theta, \quad y(\theta) = (3 - 3\cos\theta)\sin\theta \]计算关于 \( \theta \) 的导数：
\[ \dfrac{dy}{d\theta} = 3\sin^2\theta + \cos\theta(3 - 3\cos\theta), \quad \dfrac{dx}{d\theta} = 3\sin(2\theta) - 3\sin\theta \]在 \( \theta = \dfrac{\pi}{4} \) 处，代入数值得到斜率 \( m = \sqrt{2} + 1 \approx 2.41 \)。
b) 对于水平切线，令 \( \dfrac{dy}{d\theta} = 0 \)（且 \( \dfrac{dx}{d\theta} \neq 0 \)）：
\[ 3\sin^2\theta + 3\cos\theta - 3\cos^2\theta = 0 \implies 2\cos^2\theta - \cos\theta - 1 = 0 \]求解得到 \( \theta = \dfrac{2\pi}{3} \) 和 \( \theta = \dfrac{4\pi}{3} \)（排除分母为零的 \( \theta = 0 \)）。对应的半径为 \( r = 4.5 \)。
问题 3 解答
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圆 \( r = 2 \) 的参数方程为：
\[ x(\theta) = 2\cos\theta, \quad y(\theta) = 2\sin\theta \]导数为 \( \dfrac{dy}{dx} = -\cot\theta \)。
将斜率设为 \( \dfrac{1}{2} \)：
\[ -\cot\theta = \dfrac{1}{2} \implies \tan\theta = -2 \]求解 \( [0, 2\pi] \) 范围内的角度：
\[ \theta_1 \approx 2.68 \text{ rad} \, (153.55^\circ), \quad \theta_2 \approx 5.82 \text{ rad} \, (333.46^\circ) \]计算直角坐标：
\[ (2\cos\theta_1, 2\sin\theta_1) \approx (-1.79, 0.89) \] \[ (2\cos\theta_2, 2\sin\theta_2) \approx (1.79, -0.89) \]