如何使用泰勒级数推导欧拉公式？

通过将 z = ix 代入 e^z 的泰勒级数展开式中，简化虚数单位 i 的幂，并将所得级数分离为分别对应 cos(x) 和 sin(x) 的麦克劳林级数的实部和虚部，即可推导出欧拉公式。

欧拉公式证明 – 使用泰勒级数的推导

下面介绍使用泰勒级数对欧拉公式的证明。

在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。

欧拉公式的推导

参考数学公式表，\( e^z \) 的泰勒级数展开式由下式给出：

\[ e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{z^5}{5!} + \frac{z^6}{6!} + \frac{z^7}{7!} + \dots + \frac{z^n}{n!} + \dots \]

令 \( z = ix \)，其中 \( x \) 是实数，\( i = \sqrt{-1} \) 是虚数单位：

\[ e^{ix} = 1 + (ix) + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \frac{(ix)^6}{6!} + \frac{(ix)^7}{7!} + \dots \]

展开 \( ix \) 的幂次：

\[ e^{ix} = 1 + ix + i^2 \frac{x^2}{2!} + i^3 \frac{x^3}{3!} + i^4 \frac{x^4}{4!} + i^5 \frac{x^5}{5!} + i^6 \frac{x^6}{6!} + i^7 \frac{x^7}{7!} + \dots + i^n \frac{x^n}{n!} + \dots \]

利用 \( i \) 的幂次的循环性质：

\( i^2 = -1 \)
\( i^3 = i^2 \cdot i = -i \)
\( i^4 = i^3 \cdot i = 1 \)
\( i^5 = i^4 \cdot i = i \)
\( i^6 = i^5 \cdot i = -1 \)
\( i^7 = i^6 \cdot i = -i \)

将这些值代回展开式中：

\[ e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - i\frac{x^7}{7!} + \dots \]

将实数项组合在一起，并从虚数项中提取公因式 \( i \)，得到方程 \( (I) \)：

\[ e^{ix} = \left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots\right) + i\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots\right) \quad (I) \]

根据数学公式表，\( \sin x \) 和 \( \cos x \) 的泰勒级数为：

\[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots \] \[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots \]

将这些级数代入方程 \( (I) \) 中，其实部对应于 \( \cos x \)，虚部对应于 \( \sin x \)：

\[ e^{ix} = \cos x + i \sin x \]

欧拉公式的推导

更多参考资料与链接