泰勒级数与麦克劳林级数有什么区别？

泰勒级数是将函数表示为根据其在特定点 a 处的导数值计算出的各项的无穷级数。而麦克劳林级数只是泰勒级数在展开中心为 a = 0 时的特例。

泰勒级数与麦克劳林级数及示例

本文介绍如何使用泰勒级数和麦克劳林级数在给定的 \( x \) 值处将函数展开并逼近为幂级数。这些级数为生成函数提供了有用的多项式逼近，在计算器上更容易编程实现。其中包含示例、问题及其解答。

在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。

泰勒级数与麦克劳林级数的定义

对于在包含 \( a \) 的开区间内具有各阶导数的函数 \( f \)，函数 \( f \) 在 \( x = a \) 处的泰勒级数由下式给出 [1]：

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \dots \]

其中 \( f'(a), f''(a), \dots, f^{(n)}(a), \dots \) 是函数 \( f \) 在 \( x = a \) 处求值的导数。

函数 \( f \) 的麦克劳林级数是以 \( x = 0 \) 为中心的泰勒级数，由下式给出：

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \dots \]

泰勒级数和麦克劳林级数是无穷的，但它们可以截断到 \( n \) 项，从而产生如下所示的泰勒多项式：

\[ P_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \]

您可以使用在线泰勒级数计算器来检查下方列出的许多示例和练习，并生成新的问题。

泰勒级数与麦克劳林级数展开示例

例题 1

a) 求由 \( f(x) = \sin(x) \) 在 \( x = \pi/2 \) 处生成的 4 阶泰勒多项式 \( P_4(x) \)。
b) 在包含 \( \pi/2 \) 的区间内画出 \( \sin(x) \) 和 \( P_4(x) \) 的图象，并对两者的图象进行比较。

显示例题 1 解答

a) 4 阶泰勒多项式由下式给出：

\[ P_4(x) = f(\pi/2) + f'(\pi/2)(x-\pi/2) + \frac{f''(\pi/2)}{2!}(x-\pi/2)^2 + \frac{f^{(3)}(\pi/2)}{3!}(x-\pi/2)^3 + \frac{f^{(4)}(\pi/2)}{4!}(x-\pi/2)^4 \]

计算 \( f(x) = \sin(x) \) 的前 4 阶导数：

\( f(x) = \sin(x) \implies f(\pi/2) = 1 \)
\( f'(x) = \cos(x) \implies f'(\pi/2) = 0 \)
\( f''(x) = -\sin(x) \implies f''(\pi/2) = -1 \)
\( f^{(3)}(x) = -\cos(x) \implies f^{(3)}(\pi/2) = 0 \)
\( f^{(4)}(x) = \sin(x) \implies f^{(4)}(\pi/2) = 1 \)

代入 \( P_4(x) \) 中：

\[ P_4(x) = 1 + 0 - \frac{1}{2}(x-\pi/2)^2 + 0 + \frac{1}{24}(x-\pi/2)^4 = 1 - \frac{1}{2}(x-\pi/2)^2 + \frac{1}{24}(x-\pi/2)^4 \]

b) 比较 \( \sin(x) \) 及其 4 阶泰勒多项式的图象，两条曲线在 \( x = \pi/2 \) 附近紧密重合，这证明了 \( P_4(x) \) 提供了准确的局部逼近。

Graphs comparing sin(x) and its Taylor expansion example 1 — 图 1. \( \sin(x) \) 与 \( P_4(x) \) 的比较

例题 2

a) 求由 \( f(x) = \ln(x) \) 在 \( x = 1 \) 处生成的 5 阶泰勒多项式 \( P_5(x) \)。
b) 在包含 \( 1 \) 的区间内画出 \( \ln(x) \) 和 \( P_5(x) \) 的图象，并对两者的图象进行比较。
c) 在下表中计算 \( P_5(x) \) 和 \( \ln(x) \) 的值，并对比对应的值。

\( P_5(x) \)	\( \ln(x) \)
\( P_5(1.01) \)	\( \ln(1.01) \)
\( P_5(0.99) \)	\( \ln(0.99) \)
\( P_5(1.1) \)	\( \ln(1.1) \)
\( P_5(0.9) \)	\( \ln(0.9) \)
\( P_5(1.5) \)	\( \ln(1.5) \)
\( P_5(0.5) \)	\( \ln(0.5) \)
\( P_5(1.8) \)	\( \ln(1.8) \)
\( P_5(0.2) \)	\( \ln(0.2) \)

显示例题 2 解答

a) 在 \( x = 1 \) 处的 5 阶泰勒多项式为：

\[ P_5(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2 + \frac{f^{(3)}(1)}{3!}(x-1)^3 + \frac{f^{(4)}(1)}{4!}(x-1)^4 + \frac{f^{(5)}(1)}{5!}(x-1)^5 \]

计算 \( f(x) = \ln(x) \) 的前 5 阶导数：

\( f(x) = \ln(x) \implies f(1) = 0 \)
\( f'(x) = \frac{1}{x} \implies f'(1) = 1 \)
\( f''(x) = -\frac{1}{x^2} \implies f''(1) = -1 \)
\( f^{(3)}(x) = \frac{2}{x^3} \implies f^{(3)}(1) = 2 \)
\( f^{(4)}(x) = -\frac{6}{x^4} \implies f^{(4)}(1) = -6 \)
\( f^{(5)}(x) = \frac{24}{x^5} \implies f^{(5)}(1) = 24 \)

代入 \( P_5(x) \) 并简化：

\[ P_5(x) = (x-1) - \frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{3}(x-1)^3 - \frac{1}{4}(x-1)^4 + \frac{1}{5}(x-1)^5 = \frac{1}{5}x^5 - \frac{5}{4}x^4 + \frac{10}{3}x^3 - 5x^2 + 5x - \frac{137}{60} \]

b) 图象显示 \( P_5(x) \) 在 \( x = 1 \) 附近对 \( \ln(x) \) 进行了良好的逼近。

Graphs comparing ln(x) and its Taylor expansion example 2 — 图 2. \( \ln(x) \) 与 \( P_5(x) \) 的比较

c) 计算表对比：

近似值 \( P_5(x) \)	精确值 \( \ln(x) \)
\( P_5(1.01) = 0.00995 \)	\( \ln(1.01) = 0.00995 \)
\( P_5(0.99) = -0.01005 \)	\( \ln(0.99) = -0.01005 \)
\( P_5(1.1) = 0.09531 \)	\( \ln(1.1) = 0.09531 \)
\( P_5(0.9) = -0.10536 \)	\( \ln(0.9) = -0.10536 \)
\( P_5(1.5) = 0.40729 \)	\( \ln(1.5) = 0.40546 \)
\( P_5(0.5) = -0.68854 \)	\( \ln(0.5) = -0.69314 \)
\( P_5(1.8) = 0.61380 \)	\( \ln(1.8) = 0.58778 \)
\( P_5(0.2) = -1.45860 \)	\( \ln(0.2) = -1.60943 \)

多项式 \( P_5(x) \) 为接近 \( x = 1 \) 的值提供了极佳的逼近。

例题 3

a) 求由 \( f(x) = e^x \) 生成的麦克劳林级数。
b) 在包含 \( 0 \) 的区间内，分别画出包含 2、3、4、5 和 6 项的麦克劳林级数的图象。

显示例题 3 解答

a) 麦克劳林级数由下式给出：

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \dots \]

由于 \( f(x) = e^x \) 在 \( x = 0 \) 处的各阶导数均等于 \( 1 \)：

\[ 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \dots + \frac{1}{n!}x^n + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \]

b) 不同阶数的多项式：

\( P_1(x) = 1 + x \)
\( P_2(x) = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 \)
\( P_3(x) = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 \)
\( P_4(x) = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{24}x^4 \)
\( P_5(x) = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{24}x^4 + \frac{1}{120}x^5 \)

Graphs of Maclaurin series of different orders and function e^x — 图 3. \( e^x \) 的各种阶数麦克劳林多项式的图象

问题

第一部分 (Part A)

求函数 \( f \) 在给定 \( x \) 值处生成的 4 阶泰勒多项式：

\( f(x) = e^{-x} \)，在 \( x = 2 \) 处
\( f(x) = \sin(x/2) \)，在 \( x = \pi \) 处

第二部分 (Part B)

求下列函数的麦克劳林级数：

\( f(x) = \cos(x + \pi/2) \)
\( f(x) = e^x + e^{-x} \)
\( f(x) = e^{-x^2} \)
\( f(x) = \sin(x) \)
\( f(x) = e^x - e^{-x} \)

第三部分 (Part C)

求 \( f(x) = \sin(x)e^x \) 在 \( x = 0 \) 处生成的 5 阶泰勒多项式，并在同一坐标系中画出 \( f \) 与该泰勒多项式的图象。

上述问题的解答