收敛级数与发散级数有什么区别？

如果当 n 趋向无穷大时，级数的部分和的极限存在且是一个有限实数，则该级数是收敛的。如果极限不存在或是无限的，则该级数是发散的。

收敛级数与发散级数 – 微积分教程与示例

本文介绍了级数的收敛性与发散性，并附带示例及详细解答。

在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。

级数的定义

设 \( \displaystyle \left\{a_n \right\}_1^{\infty} \) 是一个无限序列。无限和： \[ a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n + \dots \] 称为一个级数 [1] [2]。

该级数也可以使用求和符号 \( \displaystyle \sum \) 表示为： \[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i \]

注意，当求和的上限为无穷大（如 \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} a_i \)）时，我们称之为级数；而当求和的上限为有限值（如 \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_i \)）时，我们称之为部分和。

收敛级数与发散级数

我们首先通过图表和两个示例来讨论级数的收敛性与发散性。

例题 1 - 收敛级数

设 \( a_i = \dfrac{1}{4^i} \)，并定义部分和为： \[ S_n = \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{4^i} \]

\( n \)、\( a_n \) 以及有限和 \( s_n \) 的值如下表所示，其中 \( s_n \) 定义为：

\( s_1 = a_1 \)
\( s_2 = a_1 + a_2 \)
\( s_3 = a_1 + a_2 + a_3 \)
\( s_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 \)

如表 1 和图 1 所示，当我们向部分和 \( s_n \) 中添加更多项时，它会越来越接近 \( 2 \)。

Table of a Convergent Series — 表 1. \( n \)、\( a_n \) 及部分和 \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{4^i} \) 的数值表

Graph of a Convergent Series — 图 1. 部分和 \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{4^i} \) 的图象

随着 \( n \) 的增加，部分和 \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{4^i} \) 趋向于一个常数 \( 2 \)。因此，我们可以说级数 \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{1}{4^i} \) 是收敛到 \( 2 \) 的。

例题 2 - 发散级数

设 \( a_i = (-2)^i \)，并定义部分和为： \[ S_n = \sum_{i=1}^{n} (-2)^i \]

下面是 \( n \)、\( a_n \) 以及有限和 \( s_n \) 的数值表。随着我们添加更多项，无论是表 2 还是图 2 都没有显示出收敛到任何值的趋势。部分和没有极限，因此我们认为级数 \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} (-2)^i \) 是发散的。

Table of a Divergent Series — 表 2. 部分和 \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (-2)^i \) 的数值表

Graph of a Divergent Series — 图 2. 部分和 \( \displaystyle \sum (-2)^i \) 的图象

收敛级数与发散级数的形式化定义

给定一个级数： \[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + \dots \] 设 \( S_n \) 为部分和： \[ S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + \dots + a_n \]

如果 \( \lim_{n\to\infty} S_n \) 存在且： \[ \lim_{n\to\infty} S_n = s \] 其中 \( s \) 是一个实数，我们称级数 \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} a_i \) 是收敛的，并记作： \[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + \dots = s \]

如果 \( \lim_{n\to\infty} S_n \) 不存在或者不是一个实数，则级数 \( \sum_{i=1}^{\infty} a_i \) 是发散的。我们也可以写作： \[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} a_i \]

几何级数

几何级数定义为： \[ \sum_{i=1}^{\infty} a \, r^{i-1} = a + a \, r + a \, r^2 + \dots \] 其中 \( r \) 称为公比。

设 \( S_n \) 为定义如下的部分和： \[ S_n = a + a \, r + a \, r^2 + \dots + a \, r^{n-1} \quad (I) \] 两边同乘以 \( r \)： \[ r \, S_n = a \, r + a \, r^2 + a \, r^3 + \dots + a \, r^n \quad (II) \] 用 (I) 减去 (II)： \[ S_n - r \, S_n = a(1 - r^n) \implies S_n(1 - r) = a(1 - r^n) \implies S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \]

根据极限知识，当 \( |r| < 1 \) 时，\( \lim_{n\to\infty} r^n = 0 \)。因此，我们有：

几何级数 \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} a r^{i-1} = a + a r + a r^2 + \dots \) 当 \( |r| < 1 \) 时是收敛的，其和为： \[ \sum_{i=1}^{\infty} a r^{i-1} = \frac{a}{1 - r}, \quad |r| < 1 \] 当 \( |r| > 1 \) 时，该几何级数是发散的。

例题 3 - 几何级数

下列哪些几何级数是收敛的？如果可能，请求出其和。

\( 4 - \dfrac{12}{5} + \dfrac{36}{25} - \dfrac{108}{125} + \dots \)
\( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{3^{2i}}{10^{i-1}} \)
\( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{1}{5^{-i} \; 2^{i+1}} \)

例题 3 解答

级数 \( 4 - \dfrac{12}{5} + \dfrac{36}{25} - \dfrac{108}{125} + \dots \) 的公比为 \( r = \dfrac{-\frac{12}{5}}{4} = -\dfrac{3}{5} \)。
由于 \( |r| = \dfrac{3}{5} < 1 \)，该级数收敛。
首项 \( a = 4 \)，其和为： \[ \sum = \frac{4}{1 - (-\frac{3}{5})} = \frac{4}{1 + \frac{3}{5}} = \frac{4}{\frac{8}{5}} = \frac{5}{2} \]
重写该级数： \[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{3^{2i}}{10^{i-1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{(3^2)^i}{10^{i-1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{9 \cdot 9^{i-1}}{10^{i-1}} = \sum_{i=1}^{\infty} 9 \left(\frac{9}{10}\right)^{i-1} \] 首项 \( a = 9 \)，公比 \( r = \dfrac{9}{10} < 1 \)。该级数收敛： \[ \sum = \frac{9}{1 - \frac{9}{10}} = 90 \]
重写该级数： \[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5^{-i} \, 2^{i+1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{2^2}{5^1} \cdot \frac{5^i}{2^{i+1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{5^{i-1}}{2^{i-1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{5}{2}\right)^{i-1} \] 公比为 \( r = \dfrac{5}{2} > 1 \)，因此该级数发散。

算术级数是发散的

算术级数给出为： \[ \sum_{i=1}^{\infty} (a + (i-1)d) = a + (a + d) + (a + 2d) + \dots \] 部分和 \( S_n \) 为： \[ S_n = \frac{n(2a + (n-1)d)}{2} = \frac{nd}{2}n + n\left(a - \frac{d}{2}\right) \] 由于 \( \lim_{n\to\infty} S_n = \infty \)，所有算术级数都是发散的。

收敛级数的组合定理

如果 \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = L_1 \) 和 \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n = L_2 \) 是收敛级数，且 \( k_1, k_2 \) 是实数，则其任意线性组合也是收敛的： \[ k_1 \sum_{n=1}^{\infty} a_n + k_2 \sum_{n=1}^{\infty} b_n = k_1 L_1 + k_2 L_2 \]

例题 4

如果可能，计算下列级数的值：

\( \left(2 - 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dots\right) + \left(-\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{27} + \dots\right) \)
\( -3 \sum_{i=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{i-1} - 4 \sum_{i=1}^{\infty} 0.7^{i-1} \)
\( \sum_{i=1}^{\infty} (0.2)^i + \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{3^i - 7 \cdot 2^i}{5^{i-1}} \)

例题 4 解答

第一个级数：\( A_1 = 2, R_1 = -\dfrac{1}{2} \implies \dfrac{2}{1 - (-1/2)} = \dfrac{4}{3} \)。
第二个级数：\( A_2 = -\dfrac{1}{3}, R_2 = -\dfrac{1}{3} \implies \dfrac{-1/3}{1 - (-1/3)} = -\dfrac{1}{4} \)。
和 = \( \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{13}{12} \)。
第一个级数：\( A_1 = 1, R_1 = \dfrac{1}{2} \implies \dfrac{1}{1 - 1/2} = 2 \)。
第二个级数：\( A_2 = 1, R_2 = 0.7 \implies \dfrac{1}{1 - 0.7} = \dfrac{10}{3} \)。
总和 = \( -3(2) - 4\left(\dfrac{10}{3}\right) = -6 - \dfrac{40}{3} = -\dfrac{58}{3} \)。
改写为几何级数的组合： \[ 0.2 \sum_{i=1}^{\infty} (0.2)^{i-1} + 3 \sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{3}{5}\right)^{i-1} - 14 \sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{2}{5}\right)^{i-1} \] 计算每一项的和： \[ 0.2\left(\frac{1}{1-0.2}\right) + 3\left(\frac{1}{1-3/5}\right) - 14\left(\frac{1}{1-2/5}\right) = \frac{1}{4} + \frac{15}{2} - \frac{70}{3} = -\frac{187}{12} \]