通过示例采用数值和图形方法来引入极限的概念。
在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。
极限的数值方法
例题 1
设 \( f(x) = 2x + 2 \)，当 \( x \) 取更接近 1 的值时计算 \( f(x) \)。我们首先考虑 \( x \) 从左侧趋近于 1（\( x < 1 \)\) 的情况。
我们现在考虑 \( x \) 从右侧趋近于 1（\( x > 1 \)\) 的情况。
在这两种情况下，当 \( x \) 趋近于 1 时，\( f(x) \) 都趋近于 4。直观地说，我们称 \( \lim_{x \to 1} f(x) = 4 \)。
注意：我们讨论的是当 \( x \) 接近 \( 1 \) 时 \( f(x) \) 所取的值，而不是 \( f(1) \)。事实上，即使在 \( f(a) \) 未定义时，我们也可以讨论当 \( x \) 趋近于 \( a \) 时 \( f(x) \) 的极限。
例题 2
设 \( g(x) = \dfrac{\sin x}{x} \)，当 \( x \) 取更接近 0 的值时计算 \( g(x) \)。我们考虑 \( x \) 从左侧趋近于 0（\( x < 0 \)\) 以及 \( x \) 从右侧趋近于 0（\( x > 0 \)\) 的值。
这里我们称 \( \lim_{x \to 0} g(x) = 1 \)。注意，当 \( x = 0 \) 时，\( g(0) = \dfrac{\sin 0}{0} = \dfrac{0}{0} \) 是未定义的。
极限的图形方法
例题 3
下图表明，当 \( x \) 从左侧趋近于 1 时，\( y = f(x) \) 趋近于 2，这可以写为：
\[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \]当 \( x \) 从右侧趋近于 1 时，\( y = f(x) \) 趋近于 4，这可以写为：
\[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 4 \]注意，左极限、右极限以及 \( f(1) = 3 \) 各不相同。
例题 4
该图表明：
\[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \]当 \( x \) 从右侧趋近于 1 时，\( y = f(x) \) 趋近于 4，这可以写为：
\[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 4 \]注意，左极限 \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \) 和 \( f(1) = 2 \) 相等。
例题 5
该图表明：
\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = 1 \]并且
\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \]注意左右极限相等，我们可以写成：
\[ \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \]在这个例子中，当 \( x \) 趋近于 0 时的极限等于 \( f(0) = 1 \)。
例题 6
该图表明，当 \( x \) 从左侧趋近于 -2 时，\( f(x) \) 无限制地变小且没有极限。我们写成：
\[ \lim_{x \to -2^-} f(x) = -\infty \]当 \( x \) 从右侧趋近于 -2 时，\( f(x) \) 无限制地变大且没有极限。我们写成：
\[ \lim_{x \to -2^+} f(x) = +\infty \]注意 \( -\infty \) 和 \( +\infty \) 是符号而不是数字。这些符号用于表示极限不存在。
例题 7
下图显示了一个周期函数，其值域由区间 \([-1, 1]\) 给出。如果允许 \( x \) 无限制增大，\( f(x) \) 在 \([-1, 1]\) 内取值且没有极限。这可以写为：
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \text{does not exist} \]如果允许 \( x \) 无限制减小，\( f(x) \) 同样在 \([-1, 1]\) 内取值且没有极限。这可以写为：
\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \text{does not exist} \]
例题 8
如果允许 \( x \) 无限制增大，下面图中的 \( f(x) \) 趋近于 2。这可以写为：
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 2 \]如果允许 \( x \) 无限制减小，\( f(x) \) 趋近于 2。这可以写为：
\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = 2 \]
