本文介绍了傅里叶级数相关教程。第一部分通过示例展示了如何计算傅里叶系数，第二部分则可使用交互式应用进一步探索同一函数的傅里叶级数。
在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。
傅里叶级数与系数
傅里叶级数可用于将周期函数表示为正弦和余弦函数的线性组合。如果 \( f(t) \) 是周期为 \( T \) 的周期函数，那么在某些条件下，其傅里叶级数由下式给出：
\[ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left[a_n \cos\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) + b_n \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right)\right] \]其中 \( n = 1, 2, 3, \ldots \) 且 \( T \) 是函数 \( f(t) \) 的周期。\( a_n \) 和 \( b_n \) 称为傅里叶系数，计算公式如下：
\[ a_0 = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \, dt \] \[ a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \cos\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt \] \[ b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt \]例题 1
求由下式定义的周期函数 \( f(t) \) 的傅里叶级数：
\[ f(t) = \begin{cases} 1, & \text{for } 0 \leq t < T/2 \\ -1, & \text{for } T/2 \leq t < T \end{cases} \].gif)
显示例题 1 解答
系数 \( a_0 \) 由下式给出：
\[ a_0 = \frac{2}{T} \int_0^{T/2} (1) \, dt + \frac{2}{T} \int_{T/2}^T (-1) \, dt \]系数 \( a_n \) 由下式给出：
\[ a_n = \frac{2}{T} \int_0^{T/2} 1 \cdot \cos\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt + \frac{2}{T} \int_{T/2}^T (-1) \cdot \cos\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt \]系数 \( b_n \) 由下式给出：
\[ b_n = \frac{2}{T} \int_0^{T/2} 1 \cdot \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt + \frac{2}{T} \int_{T/2}^T (-1) \cdot \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt \]计算这些积分可得：
\[ a_0 = 0, \quad a_n = 0, \quad \text{且 } b_n = \frac{2}{n\pi} (1 - \cos(n\pi)) \]注意 \( \cos(n\pi) = (-1)^n \)，这意味着当 \( n \) 为偶数时 \( b_n = 0 \)。
因此，\( f(t) \) 的傅里叶级数为：
\[ f(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n\pi} (1 - (-1)^n) \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \]傅里叶级数交互式教程
出于数值计算的目的，我们无法包含无限项。因此，我们定义一个包含有限项数 \( N \) 的部分和函数 \( f_N(t) \)：
\[ f_N(t) = \sum_{n=1}^{N} \frac{2}{n\pi} (1 - (-1)^n) \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \]可以使用下方的应用来探索例题 1 中求解的 \( f(t) \) 的傅里叶级数。增加 \( N \) 以观察 \( f_N(t) \) 的图象（蓝色）如何收敛到 \( f(t) \) 的图象（红色）。
默认值为 \( N = 5 \) 且 \( T = 4 \)。更改 \( N \) 和 \( T \) 并点击按钮以更新图表。
将鼠标光标悬停在图表或绘制的点上以读取坐标。