导数问题及详细解答

本页提供一组精心挑选的函数导数问题。每个解答隐藏在可折叠下拉框中，您可以先独立练习，再查看步骤。

问题与解答

问题 1

设 \( f \)、\( g \) 和 \( H \) 为定义如下的函数： \[ H(x) = (f g)(x) \] 且 \[ f(1) = 36,\quad f'(-2) = 3,\quad f'(1) = 4,\quad g(1) = 9,\quad g'(1) = -1. \] 判断 \( H \) 的图像在 \( x = 1 \) 处切线的斜率是正、负还是零。

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  • 由于 \( H(x) = f(x)g(x) \)，使用乘积法则求其导数： \[ H'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \]
  • 在 \( x = 1 \) 处计算： \[ H'(1) = f'(1)g(1) + f(1)g'(1) \]
  • 代入给定值： \[ H'(1) = (4)(9) + (36)(-1) = 36 - 36 = 0 \]
  • 由于 \( x = 1 \) 处的导数等于零，切线斜率为零，切线与 \( x \) 轴平行。

问题 2

设 \[ f(x) = ax^2 + bx + c. \] 求 \( a \)、\( b \) 和 \( c \) 的值，使得 \[ f(0) = 3,\quad f'(1) = 1,\quad f''(2) = 4. \]

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  • 利用 \( f(0) = 3 \)： \[ a(0)^2 + b(0) + c = 3 \Rightarrow c = 3 \]
  • 计算导数： \[ f'(x) = 2ax + b,\qquad f''(x) = 2a \]
  • 利用 \( f''(2) = 4 \)： \[ 2a = 4 \Rightarrow a = 2 \]
  • 利用 \( f'(1) = 1 \)： \[ 2(2)(1) + b = 1 \Rightarrow b = -3 \]
  • 解为： \[ a = 2,\quad b = -3,\quad c = 3 \]

问题 3

设 \( f(x) = x^3 + x \)，\( g(x) = f^{-1}(x) \)。求 \( g'(2) \) 的值。

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  • 由于 \( g(x) = f^{-1}(x) \)，有： \[ f(g(x)) = x \]
  • 使用链式法则对两边求导： \[ f'(g(x))\,g'(x) = 1 \]
  • 在 \( x = 2 \) 处计算： \[ f'(g(2))\,g'(2) = 1 \]
  • 由于 \( f(1) = 2 \)，可得 \( g(2) = 1 \)
  • 计算 \( f'(x) = 3x^2 + 1 \)，因此： \[ f'(1) = 4 \]
  • 因此： \[ g'(2) = \frac{1}{4} \]

问题 4

设 \( g(x) = f^{-1}(x) \)，\( h(x) = (g(x))^5 \)。已知 \[ f(6) = 10,\quad f'(6) = 12, \] 求 \( h'(10) \)。

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  • 对 \( h(x) \) 求导： \[ h'(x) = 5g'(x)g(x)^4 \]
  • 在 \( x = 10 \) 处计算： \[ h'(10) = 5g'(10)g(10)^4 \]
  • 由于 \( g(10) = f^{-1}(10) = 6 \)
  • 对 \( f(g(x)) = x \) 求导： \[ f'(g(x))g'(x) = 1 \]
  • 在 \( x = 10 \) 处计算： \[ f'(6)g'(10) = 1 \Rightarrow g'(10) = \frac{1}{12} \]
  • 计算： \[ h'(10) = 5\left(\frac{1}{12}\right)6^4 = 540 \]

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