求解方程组。
a)
展开左边并将方程组改写为标准形式，常数项置于右边。
将方程(I)和(II)的左右两边分别相加，消去含x的项。
简化得到一个一元方程。
求解 y 得
\( \)\( \)\( \)\( \) 将 \( y = 0 \) 代入方程(I)（或(II)）得
\( \quad -2x-(0) = 2 \)
解上述方程求 \( x \) 得
\( \quad x = - 1 \)
该方程组的解为有序对
\[ (-1,0) \]
b)
\( \quad \begin{cases} \displaystyle \frac{x-1}{3} + y & = & 5 \\ 2(x+3) - \frac{y}{5} & = & 7\end{cases} \)
为消去给定方程组中两个方程的分母，将第一个方程各项乘以 \( 3 \)，第二个方程各项乘以 \( 5 \)。
\( \quad \begin{cases} \displaystyle \color{red}{3}\frac{x-1}{3} + \color{red}{3} y & = & \color{red}{3} \cdot 5 \\ \displaystyle \color{red}{5} ( 2(x+3) ) - \color{red}{5} \frac{y}{5} & = & \color{red}{5} \cdot 7\end{cases} \)
展开、简化并将方程组改写为标准形式。
\( \quad \begin{cases} \displaystyle x + 3 y & = & 16 \\ 10 x - y & = & 5\end{cases} \)
为消去含 \( y \) 的项，将第二个方程各项乘以 3。
\( \quad \begin{cases} \displaystyle x + 3 y & = & 16 \\ \color{red}3(10 x - y) & = & \color{red}3 \cdot 5\end{cases} \)
展开
\( \quad \begin{cases} \displaystyle x + 3 y & = & 16 \qquad (I) \\ 30 x - 3y & = & 15 \qquad (II) \end{cases} \)
将方程左右两边分别相加，消去含y的项。
\( \quad 31 x = 31 \)
求解 \( x \)
\( \quad x = 1 \)
将 \( x = 1 \) 代入方程(I)（或方程(II)）
\( \quad (1) + 3 y = 16 \)
求解 \( y \)
\( \quad y = 5 \)
该方程组的解为有序对
\[ (1,5) \]
c)
\( \displaystyle \quad \begin{cases} (x-1)^2 + y & = & -1 \qquad (I) \\ - 4 x + 2y & = & -6 \qquad (II) \end{cases} \)
由方程(II)解出y得
\( \quad y = 2x - 3 \qquad (III) \)
将 \( y = 2x - 3 \) 代入方程(II)并改写为
\( \quad (x-1)^2 + \color{red}{(2x - 3)} = -1 \)
展开并改写为标准形式 \( \quad x^2 - 1 = 0 \)
解上述方程求 \( x \) 得解 \( \quad x = 1 \) 和 \( x = - 1\)
求得解 \( x \) 后，将每个解 \( 1 \) 和 \( -1 \) 代入方程(III)得到对应的 \( y \) 值。
将 \( x = 1 \) 代入方程(III)得
\( \quad y = 2(1) - 3 = -1 \)
将 \( x = - 1 \) 代入方程(III)得
\( \quad y = 2(-1) - 3 = - 5 \)
该方程组的两个解有序对为
\[ (1,-1) \quad \text{和} \quad (-1,-5) \]
展开并简化表达式。
a)
\( \quad -(x+2)(x-1) + (x-2)^2 \)
展开乘积 \( (x+2)(x-1) \) 和平方项 \( (x-2)^2 \)
\( \quad (x+2)(x-1) = x^2+x-2 \)
\( \quad (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 \)
将上述代入给定表达式
\( \quad -(x+2)(x-1) + (x-2)^2 = - (x^2+x-2 ) + (x^2 - 4x + 4 ) \)
去掉括号，注意减号前的表达式需变号。
\( \quad -(x+2)(x-1) + (x-2)^2 = - x^2 - x + 2 + x^2 - 4x + 4 \)
合并同类项并简化。
\[ \quad -(x+2)(x-1) + (x-2)^2 = -5x+6 \]
b)
\( \quad (x-2)(x^2 + 3x -3) - (x-1)(x+1) \)
展开乘积 \( (x-2)(x^2 + 3x -3) \) 和 \( (x-1)(x+1) \)。
\( \quad (x-2)(x^2 + 3x -3) = x^3+x^2-9x+6 \)
\( \quad (x-1)(x+1) = x^2 - 1\)
将上述代入给定表达式
\( \quad (x-2)(x^2 + 3x -3) - (x-1)(x+1) = (x^3+x^2-9x+6) - (x^2 - 1) \)
去掉括号，注意减号前的表达式需变号。
\( \quad (x-2)(x^2 + 3x -3) - (x-1)(x+1) = x^3+x^2-9x+6 - x^2+1 \)
合并同类项并简化。
\[ \quad (x-2)(x^2 + 3x -3) - (x-1)(x+1) = x^3-9x+7 \]
完全因式分解表达式。
a)
\( \quad 3x^3+6x^2 \)
将各项改写为质因数乘积形式
\( \quad 3x^3 = 3 \cdot x \cdot x \cdot x \)
\( \quad 6x^2 = 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x \)
找出所有公因子
\( \quad 3x^3 = \color{red}3 \cdot \color{red}x \cdot \color{red}x \cdot x \)
\( \quad 6x^2 = 2 \cdot \color{red} 3 \cdot \color{red}x \cdot \color{red}x \)
最大公因式为
\( \quad 3 \cdot x \cdot x \)
将各项替换为其因式形式，并改写给定表达式为
\( \quad 3x^3+6x^2 = \color{red}3 \cdot \color{red}x \cdot \color{red}x \cdot x + 2 \cdot \color{red} 3 \cdot \color{red}x \cdot \color{red}x \)
提取公因式 \( \color{red} 3 \cdot \color{red}x \cdot \color{red}x \) 并改写上述为
\( \quad 3x^3+6x^2 = \color{red} 3 \cdot \color{red}x \cdot \color{red}x (x+2) \)
注意到 \( 3 \cdot x \cdot x = 3 x^2 \)，给定表达式的因式分解形式为
\[ \quad 3x^3+6x^2 = 3 x^2 (x+2) \]
b)
\( \quad (x-3)(x^2 + 3x + 2) - (x-3)(x+1) \)
提取公因式 \( (x-3) \)
\( \quad (x-3)(x^2 + 3x + 2) - (x-3)(x+1) = (x-3)(x^2 + 3x + 2- (x+1)) \)
简化 \( (x^2 + 3x + 2- (x+1)) \) 并改写上述为
\( \quad (x-3)(x^2 + 3x + 2) - (x-3)(x+1) = (x-3)(x^2+2x+1) \)
注意到 \( x^2+2x+1 = (x+1)^2 \)，因此 \[ \quad (x-3)(x^2 + 3x + 2) - (x-3)(x+1) = (x-3)(x+1)^2 \]
c)
\( \quad 81 x^2 - 16 y^2\)
注意到 \( 81 = 9^2 \), \( x^2 = x^2 \), \( 16 = 4^2 \) 和 \( y^2 = y^2 \)，将给定表达式改写为平方差形式
\( \quad 81 x^2 - 16 y^2 = (9x)^2 - (4y)^2 \)
使用平方差公式 \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) 对上述表达式进行因式分解
\[ (9x)^2 - (4y)^2 = (9x - 4y)(9x + 4y) \]
d)
\( \quad -6x^2+7x-2 \)
提取负号
\( \quad -6x^2+7x-2 = - (6x^2 - 7 x + 2) \qquad (I) \)
为因式分解 \( 6x^2 - 7 x + 2 \)，需写成 \( \quad 6x^2 - 7 x + 2 = ( ax + b) (c x + d) \)
其中乘积 \( b \cdot d = 2 \)，意味着 \( b = 1 \) 和 \( d = 2 \) 或 \( b = - 1 \) 和 \( d = - 2 \)
乘积 \( a \cdot c = 6 \) 意味着以下可能值：\( a = 1 \) 和 \( c = 6 \)，或 \( a = 2 \) 和 \( c = 3 \) 或 \( a = 3 \) 和 \( c = 2 \)
代入 \( a, b, c ,d \) 的值后，得到因式分解形式
\( \quad 6x^2 - 7 x + 2 = (2x-1)(3x-2) \)
代入上述(I)式 \[ \quad -6x^2+7x-2 = - (2x-1)(3x-2) \]
已知 \( f(x) = -2 x^2 - 2 x + 4 \)，求
a) 函数 \( f \) 图像的顶点，
b) 函数 \( f(x) = -2 x^2 - 2 x + 4 \) 图像的x轴和y轴截距，
c) 函数 \( f \) 图像的对称轴。
d) 使用计算器绘制 \( f \) 的图像，并验证a)、b)和c)部分的答案。
a)
\( f \) 是二次函数，其图像为抛物线。
我们首先通过配方法将给定函数写成标准顶点式 \( \; f(x) = a (x - h)^2 + k \; \)，其中顶点坐标为 \( (h,k) \)。
在 \( \; f(x) \) 中提取含 \( x \) 和 \( x^2\) 项的公因子 \( -2 \)
\( \quad f(x) = - 2 (x^2 + x) + 4 \)
对括号内的表达式进行配方。
\( \quad \displaystyle \quad f(x) = - 2 \left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - 1/4 \right) + 4 \)
简化并改写上述为
\( \quad \displaystyle \quad f(x) = - 2 \left(x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{9}{2} \)
将上述函数 \( \; f(x) = - 2 \left(x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{9}{2} \; \) 与标准顶点式 \( \; f(x) = a (x - h)^2 + k \; \) 比较，可得 \( h = - \frac{1}{2} \) 和 \( k = \frac{9}{2} \)
因此顶点坐标为 \( \displaystyle \left(- \frac{1}{2} , \frac{9}{2} \right) \)
b)
x截距（如果存在）由方程 \( f(x) = 0 \) 的解给出，因此解方程
\( \quad \displaystyle \quad - 2 \left(x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{9}{2} = 0 \)
得
\( \quad 2 \left(x + \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{9}{2} \)
\( \quad \left(x + \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{9}{4} \)
通过开平方求解
\( \quad \left(x + \frac{1}{2} \right) = \pm \sqrt {\frac{9}{4}} \)
简化得到两个解
\( \quad \left(x + \frac{1}{2} \right) = \pm \frac{3}{2} \)
\( \quad x_1 = 1 \) 和 \( x_2 = - 2 \)
y截距由 \( y = f(0) = 4 \) 给出
c)
函数 \( f \) 图像的对称轴由垂直线 \( x = h = - \frac{1}{2} \) 给出
d)
使用绘图计算器得到下图，其中顶点、x和y截距以及对称轴均可验证与上述计算一致。
使用比例关系完成（如果可能）a)、b)和c)中的数值表。
a)
有两种比例关系：
1) 若 \( y \) 与 \( x \) 之间存在数学关系：
\( \quad \; y = k x \quad \) 或 \( \quad \displaystyle \frac{y}{x} = k \quad \)，其中 \( k \) 为常数，则 \( y \) 与 \( x \) 成正比。
2) 若 \( y \) 与 \( x \) 之间存在数学关系：
\( \quad \displaystyle y = \frac{k}{x} \quad \) 或 \( \quad y \cdot x = k \quad \)，其中 \( k \) 为常数，则 \( y \) 与 \( x \) 成反比。
通过计算比值 \( y / x \) 和乘积 \( y x \) 来完成表a)，如下所示。
容易看出比值恒定，即 \( \quad \displaystyle \frac{y}{x} = 6 \quad \)，因此 \( y \) 与 \( x \) 成正比，关系式为
\( \quad \displaystyle y = 6 x \quad \)
现在计算 \( x = 0.2 \) 时的 \( y \) 值以完成表格， \[ \displaystyle y = 6 \cdot 0.2 = 1.2 \quad \]
b)
通过计算比值 \( y / x \) 和乘积 \( y x \) 来完成表b)，如下所示。
容易看出乘积恒定，即 \( \quad y x = 0.2 \quad \)，因此 \( y \) 与 \( x \) 成反比，关系式为
\( \quad \displaystyle y x = 0.2 \quad \) 或 \( \quad \displaystyle y = \frac{0.2}{x} \quad \)
现在计算 \( x = 20 \) 时的 \( y \) 值以完成表格， \[ \displaystyle y = \frac{0.2}{20} = 0.01 \quad \]
c)
通过计算比值 \( y / x \) 和乘积 \( y x \) 来完成表c)，如下所示。
容易看出比值 \( \quad y / x \) 和乘积 \( y x \) 均非常数，因此表中 \( y \) 与 \( x \) 既不成正比也不成反比。因此我们无法计算c)部分中 \( x = 11 \) 时的 \( y \) 值，因为不知道 \( y \) 与 \( x \) 之间的关系。
求下方直角三角形中所有未知边和角。
为求未知边，需先求 \( x \)。
对给定三角形应用勾股定理：
\( \quad {\overline{AC}}^2 = {\overline{AB}}^2 + {\overline{BC}}^2 \)
将 \( \overline{AC} , \overline{AB} \) 和 \( \overline{BC} \) 替换为给定表达式和数值，写出方程
\( \quad (4x-1)^2 = (2x+1)^2 + 12^2 \)
展开平方项，合并同类项，简化并将方程改写为标准形式。
\( \quad 12x^2-12x-144 = 0 \)
将方程各项除以 \( 12 \) 并简化
\( \quad x^2-x-12 = 0 \)
求解得
\( \quad x = 4 \) 和 \( x = -3 \)
解 \( x = - 3 \) 会得到 \( \overline{AC} = 4 x - 1 = -13 \)，这是不可接受的，因为斜边长度不能为负。
取 \( x = 4 \) 求未知边和斜边。
\( \quad \overline{AC} = 4 x - 1 = 15\)
\( \quad \overline{AB} = 2x +1 = 9\)
利用角 \( ACB \) 的正切定义，有
\( \quad \displaystyle \tan \angle ACB = \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \)
因此
\( \quad \angle ACB = \tan^{-1} \left(\frac{3}{4}\right) = 36.87^{\circ} \)
角 \( CAB \) 和 \( ACB \) 互余，因此
\( \quad \angle CAB = 90 - 36.87 = 53.13^{\circ} \)
角 \( \alpha \) 是锐角且 \( \sin \alpha = 0.6 \)。求 \( \cos \alpha\) 和 \( \tan \alpha\)
考虑一个含角 \( \alpha \) 的直角三角形，使得
\( \quad \displaystyle \sin \alpha = \frac{对边}{斜边} = \frac{a}{c} = \frac{0.6}{1} = 0.6 \)
使用勾股定理求 \( b \)
\( \quad c^2 = a^2 + b^2 \)
代入求值
\( \quad 1 = 0.6^2 + b^2 \)
解 \( b^2 \)
\( \quad b^2 = 1 - 0.36 = 0.64\)
解 \( b \)
\( \quad b = \sqrt {0.64} = 0.8\)
现在使用余弦和正切定义
\( \quad \displaystyle \cos \alpha = \frac{邻边}{斜边} = \frac {0.8}{1} = 0.8 \)
\( \quad \displaystyle \tan \alpha = \frac{对边}{邻边} = \frac{0.6}{0.8} = \frac{3}{4} = 0.75 \)
在下图中，BE平行于CD。求线段CD和DE的长度 \( x \) 和 \( y \)。
三角形 \( ABE \) 和 \( ACD \) 有公共角 \( A \)。
由于 \( BE \) 平行于 \( CD \)，角 \( ABE \) 和 \( ACD \) 是同位角，因此全等。
角 \( AEB \) 和 \( ADC \) 也是同位角，因此全等。
三角形 \( ABE \) 和 \( ACD \) 三个角均全等，因此是相似三角形。
相似三角形的边成比例，如下所示
\( \quad \displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{BE}}{\overline{CD}} \)
代入已知量得到方程
\( \quad \displaystyle \frac{10}{10+2} = \frac{6}{X} \)
\( \quad x = 7.2 \)
相似三角形的边比例关系也给出
\( \quad \displaystyle \frac{\overline{AE}}{\overline{AD}} = \frac{\overline{EB}}{\overline{DC}} \)
代入已知量得到方程
\( \quad \displaystyle \frac{11}{11+y} = \frac{6}{7.2} \)
解 \( y = 2.2 \)
三角形ABC的边AB和BC的长度分别为14厘米和10厘米。角C的大小为49o。求三角形的所有未知角和未知边。
绘制三角形并标注所有已知量。
应用正弦定理
\( \quad \displaystyle \frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} \)
解 \( \sin A \)
\( \quad \displaystyle \sin A = \frac {a}{c} \sin C \)
代入并解 \( A \)
\( \quad \displaystyle A = \sin^{-1} \left(\frac {a}{c} \sin C \right) = \sin^{-1} \left(\frac {10}{14} \sin 49^{\circ} \right) = 32.62^{\circ}\)
任意三角形中，所有三个角 \( A, B , C \) 之和等于 \( 180^{\circ} \)；因此
\( \quad \displaystyle \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \)
解角 \( B \)
\( \angle B = 180 - (49 + 32.62) = 98.38^{\circ}\)
可使用正弦定理求边 \( b \)。
\( \quad \displaystyle \frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A} \)
解 \( b \)
\( \quad \displaystyle b = a \frac{\sin B}{\sin A} \)
代入并简化
\( \quad \displaystyle b = 10 \frac{\sin 98.38^{\circ}}{\sin 32.62^{\circ}} = 18.35\)
注意 也可使用余弦定理计算边 \( b \)，如下所示
\( \quad \displaystyle b^2 = a^2 + c^2 - 2 a c \cos B \)
代入
\( \quad \displaystyle b^2 = 10^2 + 14^2 - 2 \cdot 10 \cdot 14 \cos 98.38^{\circ} = 336.80655\)
开平方求值
\( \quad b = \sqrt {336.80655} \approx 18.35 \)
若直线 \( A x + By = 1 \) 经过点 \( (1,5) \) 且在 \( y = 3 \) 处有y轴截距，求 \( A \) 和 \( B \) 的值。
若直线经过点 \( (1,5) \)，则该点的x和y坐标满足直线方程。因此将 \( x \) 和 \( y \) 分别替换为 \( 1 \) 和 \( 5 \) 代入直线方程得到方程：
\( \quad A (1) + B(5) = 1 \)
可写为
\( \quad A + 5 B = 1 \)
直线在 \( y = 3 \) 处有y轴截距相当于说直线经过点 \( (0 , 3) \)，因此有方程
\( \quad A (0) + B(3) = 1 \)
可写为
\( \quad 3 B = 1 \)
解上述方程求 \( B \) 得
\( \quad \displaystyle B = \frac{1}{3} \)
将 \( B = \frac{1}{3} \) 代入方程 \( \quad A + 5 B = 1 \)
\( \quad \displaystyle A + 5 \cdot \frac{1}{3} = 1 \)
解 \( A \)
\( \quad \displaystyle A = 1 - \frac{5}{3} = - \frac{2}{3} \)
一位化学家需要配制5升体积分数为45%的硫酸溶液。他现有体积分数为20%和55%的硫酸溶液。他决定混合20%和55%的溶液来制备45%的溶液。每种溶液需混合多少升？
设 \( x \) 为 \( 20\% \) 硫酸溶液的升数，\( y \) 为 \( 55\% \) 硫酸溶液的升数。
需要配制5升溶液，因此有方程
\( \quad x + y = 5 \qquad (I) \)
\( x \) 升中的硫酸量与 \( y \) 升中的硫酸量之和等于整个5升溶液中的硫酸量；因此有方程
\( \quad 20\% \cdot x + 55\% \cdot y = 45\% \cdot 5 \)
后一方程可写为
\( \quad \displaystyle \frac{20 x}{100} + \frac{55 y}{100} = \frac{45 \cdot 5}{100} \)
将上述方程各项乘以 \( 100 \) 并简化以消去分母，改写方程为
\( \quad 20 x + 55 y = 225 \qquad (II) \)
方程(I)和(II)构成需要求解的方程组。
由方程(I)解出 \( y \) 得
\( \quad y = 5 - x \)
将 \( y = 5 - x \) 代入方程(II)
\( \quad 20 x + 55 (5 - x ) = 225 \qquad (II) \)
解上述方程求 \( x \)
\( \quad x \approx 1.42 \) 升
\( \quad y = 5 - 1.42 = 3.58 \) 升
因此需要混合 \( 20\% \) 硫酸溶液 \( 1.42 \) 升和 \( 55\% \) 硫酸溶液 \( 3.58 \) 升，以得到浓度为 \( 45\% \) 的5升硫酸溶液。
一个家庭在10小时内从巴黎驱车1000公里到布拉格。他们部分路程的平均速度为80公里/小时，其余路程的平均速度为120公里/小时。他们以每种速度行驶了多少距离？
设 \( x \) 和 \( y \) 分别为以 \( 80 \) 公里/小时和 \( 120 \) 公里/小时行驶的距离。
行驶距离 \( x \) 所需时间由（时间 = 距离 / 速度）给出
\( \quad \displaystyle t_x = \frac{x}{80} \)
行驶距离 \( y \) 所需时间由（时间 = 距离 / 速度）给出
\( \quad \displaystyle t_y = \frac{y}{120} \)
行驶总距离 \( x + y = 1000 \) 的总时间给定为 \( t_1 + t_ 2 = 10 \) 小时。因此得到方程组
\(\quad \displaystyle \left\{ \begin{aligned} x + y = 1000 \\ \frac{x}{80} + \frac{y}{120} = 10 \\ \end{aligned} \right.\)
将上述方程组中的第二个方程乘以乘积 \( 80 \cdot 120 \)
\(\quad \displaystyle \left\{ \begin{aligned} x + y = 1000 \\ \color{red}{80 \cdot 120}\frac{x}{80} + \color{red}{80 \cdot 120} \frac{y}{120} = \color{red}{80 \cdot 120} \cdot 10 \\ \end{aligned} \right.\)
简化
\(\quad \displaystyle \left\{ \begin{aligned} x + y = 1000 \\ 12 x + 8 y = 9600 \end{aligned} \right.\)
简化
用任何方法解方程组得
\( y = 600 \) 公里 和 \( x = 400 \) 公里。
三角形ABC的顶点为点 \( A(2,3) \), \( B(-3 , 4) \) 和位于垂直线 \( x = -1 \) 上的点 \( C \)。求点 \( C \) 的所有可能坐标，使得 \( ABC \) 是以 \( AC \) 为斜边的直角三角形。
设 \( b \) 为点 \( C (-1,b) \) 的未知y坐标。
\( \quad \displaystyle \overline {AC}^2 = (2-(-1))^2+(3-b)^2 \)
\( \quad \displaystyle \overline {AB}^2 = (2-(-3))^2+(3-4)^2 = 26 \)
\( \quad \displaystyle \overline {BC}^2 = (-3-(-1))^2+(4-b)^2 \)
三角形 \(ABC\) 是以 \( AC \) 为斜边的直角三角形当且仅当 \( \overline {AC}^2 = \overline {AB}^2 + \overline {BC}^2 \)，因此有方程
\( \quad \displaystyle (2-(-1))^2+(3-b)^2 = 26 + (-3-(-1))^2+(4-b)^2 \)
\( \quad \displaystyle 2b = 28 \)
\( \quad b = 14 \)
使得 \( ABC \) 是以 \( AC \) 为斜边的直角三角形的点 \( C \) 坐标为 \( (-1,14) \)
琳达将月预算的 \( 70\% \) 用于住房和食物，且住房支出比食物多 \( \$ 500 \)。她将预算的 \( 5\% \)（即 \( \$ 200 \)）用于支付瑜伽俱乐部的月会员费。
她分别花费多少美元在食物和住房上？
设 \( x \) 为预算金额（美元）。已知预算的 \( 5\% \) 是 \( \$ 200 \)，因此有方程
\( \quad 5\% \cdot x = 200 \)
可写为
\( \quad \displaystyle \frac{5 x}{100} = 200 \)
解 \( x \)。
\( \quad x = 4000 \) 美元
设 \( h \) 和 \( f \) 分别为住房和食物的支出金额（美元）。已知月预算的 \( 70\% \) 用于住房和食物，因此有方程
\( \quad \displaystyle h + f = 70\% \cdot 4000 \)
即
\( \quad \displaystyle h + f = 2800 \qquad (I) \)
已知琳达在住房上比食物多花费 \( \$ 500 \)，因此
\( \quad h = 500 + f \qquad (II) \)
联立解方程(I)和(II)得
\( \quad h =1650 , f = 1150 \)
因此琳达在住房上花费 \( \$ 1650 \)，在食物上花费 \( \$ 1150 \)。
已知 \( \overline {CD} = 10 \) 厘米，求下方风筝的面积。
给定风筝的面积 \( A_r \) 由下式给出
\( A_r = \frac{1}{2} \overline {AC} \cdot \overline {BD} \)
因此需要求 \( \overline {AC} \) 和 \( \overline {BD} \)。
由于角 \( \angle MDC = 45^{\circ} \)，\( \angle MCD = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \)，因此三角形 \( DMC \) 是等腰直角三角形，故
\( \quad \overline {DM} = \overline {MC} \)（等腰三角形）
\( \quad \overline {DC}^2 = \overline {DM}^2 + \overline {MC}^2 \)（勾股定理）
上式给出
\( \quad 10^2 = 2 \overline {DM}^2 \)
解得
\( \quad \displaystyle \overline {DM} = \frac{10}{\sqrt 2} \)
此外，风筝对称，因此
\( \quad \displaystyle \overline {BM} = \overline {DM} = \frac{10}{\sqrt 2} \)
即得
\[ \quad \overline {BD} =\overline {BM} + \overline {DM} = \frac{10}{\sqrt 2} + \frac{10}{\sqrt 2} = 10 \sqrt 2\]
现在利用已知大小的角 \( ABM \) 求三角形 \( ABD \) 的高 \( AM \)。
\( \quad \displaystyle \tan 65^{\circ} = \frac{\overline {AM}}{\overline {BM}} \)
因此
\( \quad \displaystyle \overline {AM} = \overline {BM} \tan 65^{\circ} = \frac{10}{\sqrt 2} \tan 65^{\circ} \)
\( \quad \displaystyle \overline {MC} = \overline {DM} = \frac{10}{\sqrt 2} \)（等腰三角形）
\[ \quad \displaystyle \overline {AC} = \overline {AM} + \overline {MC} = \frac{10}{\sqrt 2} \tan 65^{\circ} + \frac{10}{\sqrt 2} \]
现在代入上面给出的公式 \( A_r = \frac{1}{2} \overline {AC} \cdot \overline {BD} \) 求面积。
\[ \quad \displaystyle A_r = \frac{1}{2} \left(\frac{10}{\sqrt 2} \tan 65^{\circ} + \frac {10}{ \sqrt 2} \right) \cdot 10 \sqrt 2 = 157.23 \text{ 平方单位} \]。
m和n是平行线。证明直线m和r垂直。
标注不同角度。
直线m和n平行，直线s与两者相交形成同位角。
角 \( \alpha \) 和 \( \beta \) 是同位角，因此度量相等。
\( \quad \beta = \alpha = 33^{\circ} \)
角 \( \beta \) 和 \( \Omega \) 是对顶角，因此度量相等。
\( \quad \Omega = \beta = 33^{\circ} \)
现在利用三角形 \( ABC \) 的内角和求角 \( \theta \) 的大小。
\( \quad 89 + 34 + \theta = 180 \)
因此
\( \quad \theta = 180 - 89 - 34 = 57^{\circ}\)
直线r和m所成角的大小等于 \( \theta + \Omega \)
\( \quad \theta + \Omega = 57 + 33 = 90^{\circ}\)
直线r和m成 \( 90^{\circ} \) 角，因此相互垂直。
若正四棱锥的体积为1500立方厘米，且其底面正方形对角线CE的长度为10厘米，求其高AM的长度。
设正方形底边长为 \( x \)，高AM的长度为 \( h \)。棱锥的体积 \( V \) 公式为
\( \quad \displaystyle V = \frac{1}{3} x^2 h \)
考虑直角三角形 \( CDE \)，其边长为 \( x \)，斜边 \( CE \) 长度为10。
使用勾股定理
\( \quad x^2 + x^2 = 10^2 \)
\( \quad 2 x^2 = 100 \)
解 \( x^2 \)
\( \displaystyle \quad x^2 = 50 \)
现在将 \( x^2 \) 和体积 \( V \) 的值代入上面给出的公式，写出方程
\( \quad \displaystyle 1500 = \frac{1}{3} 50 h \)
解 \( h \)
\( \quad h = 90 \) 厘米