带分步解答的综合教程
将多项式因式分解意味着把它写成更简单多项式乘积的形式。这是代数中的一项基本技能，用于解方程和化简复杂表达式。
按公因式分解基于逆向应用分配律：
标准分配：
\[ a(b + c) = a \cdot b + a \cdot c \]逆向（因式分解）：
\[ a \cdot b + a \cdot c = a(b + c) \]在此方法中，我们找出所有项共有的因式 $a$ 并将其移到括号外面。
注意： 要验证你的因式分解，只需展开结果，看看是否能还原为原本的多项式。
找出最大公因式 (GCF) 并将下列多项式完全分解因式。
例题 A： \( 9x - 6 \)
解答： 利用质因数分解法找出公因式：\( \color{red}{3} \cdot 3 \cdot x - 2 \cdot \color{red}{3} \)。GCF 为 3。结果：\( 3(3x - 2) \)。
例题 B： \( 16x^3 + 8x^2y + 4xy^2 \)
解答： 系数（16, 8, 4）的 GCF 为 4。共同的变量是 $x$。GCF 为 $4x$。结果：\( 4x(4x^2 + 2xy + y^2) \)。
例题 C： \( 2x^4(x + 5) + x^2(x + 5) \)
解答： 注意到 $(x + 5)$ 是一个公共二项式因式。先把它提出来：\( (x + 5)(2x^4 + x^2) \)。然后从其余部分中提取 $x^2$。结果：\( x^2(x + 5)(2x^2 + 1) \)。
使用公因式将下列多项式完全分解因式。每道题都包含详细解答。
第 1 题： 分解因式 \[ -3x + 9 \]
用质因数分解法表示两项：
\[ -3x + 9 = -\color{red}{3} \cdot x + \color{red}{3} \cdot 3 \]最大公因式为 \( \color{red}{3} \)。提取后得到：
\[ = \color{red}{3}(-x + 3) \]为了使括号内的首项为正，我们可以提取 $-3$：
\[ = -3(x - 3) \]第 2 题： 分解因式 \[ 28x + 2x^2 \]
通过质因数分解找出公因式：
\[ 28x + 2x^2 = \color{red}{2} \cdot 2 \cdot 7 \cdot \color{red}{x} + \color{red}{2} \cdot \color{red}{x} \cdot x \]最大公因式为 \( \color{red}{2x} \)：
\[ = \color{red}{2x}(14 + x) \text{ 或 } 2x(x + 14) \]第 3 题： 分解因式 \[ 11xy + 55x^2y \]
写出每一项的质因数分解：
\[ 11xy + 55x^2y = \color{red}{11} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} + 5 \cdot \color{red}{11} \cdot \color{red}{x} \cdot x \cdot \color{red}{y} \]最大公因式为 \( \color{red}{11xy} \)：
\[ = \color{red}{11xy}(1 + 5x) \]第 4 题： 分解因式 \[ 20xy + 35x^2y - 15xy^2 \]
通过分析所有三项确定 GCF：
\[ 20xy = 2^2 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} \] \[ 35x^2y = 7 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot x \cdot \color{red}{y} \] \[ -15xy^2 = -3 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} \cdot y \]最大公因式为 \( \color{red}{5xy} \)：
\[ = \color{red}{5xy}(4 + 7x - 3y) \]第 5 题： 分解因式 \[ 5y(x + 1) + 10y^2(x + 1) - 15xy(x + 1) \]
1. 首先，提取公共二项式因式 \( (x + 1) \)：
\[ (x + 1)(5y + 10y^2 - 15xy) \]2. 现在，找出第二个括号内剩余项（$5y, 10y^2, -15xy$）的 GCF。GCF 为 \( \color{red}{5y} \)：
\[ 5y + 10y^2 - 15xy = \color{red}{5y}(1 + 2y - 3x) \]3. 将两个步骤结合起来得到最终的因式分解形式：
\[ = 5y(x + 1)(1 + 2y - 3x) \]