恒等式、精选例题与分步解答
特殊多项式形式——如平方差、完全平方 trinomials（三项式）以及立方和或立方差——为分解复杂的代数表达式提供了快捷方式。识别这些规律对于高效解决问题至关重要。
分解多项式： \[ 16x^2 - 9y^2 \]
将各项写成平方形式：\( 16x^2 = (4x)^2 \) 且 \( 9y^2 = (3y)^2 \)。
\[ 16x^2 - 9y^2 = (4x)^2 - (3y)^2 \]应用 \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)：
\[ = (4x - 3y)(4x + 3y) \]分解因式： \[ 4x^2 + 20xy + 25y^2 \]
识别平方项和中间项：\( (2x)^2 \)、\( (5y)^2 \) 以及 \( 2(2x)(5y) = 20xy \)。
\[ 4x^2 + 20xy + 25y^2 = (2x)^2 + 2(2x)(5y) + (5y)^2 \]应用 \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \)：
\[ = (2x + 5y)^2 \]分解因式： \[ 8 - 27x^3 \]
写成立方形式：\( 8 = 2^3 \) 且 \( 27x^3 = (3x)^3 \)。
\[ 8 - 27x^3 = 2^3 - (3x)^3 \]应用 \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)：
\[ = (2 - 3x)(2^2 + (2)(3x) + (3x)^2) \] \[ = (2 - 3x)(4 + 6x + 9x^2) \]将下列特殊多项式完全分解因式。
练习 A： \( -25x^2 + 9 \)
重新排列为平方差形式：\( 9 - 25x^2 \)。
\[ 3^2 - (5x)^2 = (3 - 5x)(3 + 5x) \]练习 B： \( 16y^4 - x^4 \)
连续两次应用平方差公式：
\[ (4y^2)^2 - (x^2)^2 = (4y^2 - x^2)(4y^2 + x^2) \]对剩下的平方差项继续分解：
\[ = (2y - x)(2y + x)(4y^2 + x^2) \]练习 C： \( \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2} \)
提取公因式 \( 1/2 \)：
\[ \frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1) \]识别出完全平方三项式：
\[ = \frac{1}{2}(x + 1)^2 \]练习 D： \( x^6 - 1 \)
将其视为平方差：\( (x^3)^2 - 1^2 \)。
\[ = (x^3 - 1)(x^3 + 1) \]应用立方差和立方和公式：
\[ = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1) \]