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根据已知的函数图像求解二次函数解析式。本文提供详细解答的实例。建议先学习二次函数图像绘制教程以更好地理解下列求二次函数解析式的示例。
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二次函数 \( f \) 的 顶点式（标准式）可表示为：
\[ f(x) = a(x - h)^2 + k \]其中 \( h \) 和 \( k \) 分别为函数图像 顶点（极小值点或极大值点）的横坐标与纵坐标。
函数 \( f \) 的图像为抛物线，其对称轴为垂直线 \( x = h \)。
\( h \) 和 \( k \) 与一般式系数的关系为：
\[ h = \frac{-b}{2a} \quad \text{且} \quad k = f(h) = c - \frac{b^2}{4a} \]求下图所示二次函数 \( f \) 的解析式。
设 \( h \) 和 \( k \) 为函数 \( f \) 图像顶点的坐标。
由图像可知，顶点（极小值点）坐标为 \( (h, k) = (0, 2) \)。因此，函数 \( f \) 的顶点式可写为：
\[ f(x) = a(x - h)^2 + k = a(x - 0)^2 + 2 = ax^2 + 2 \]点 \( (1, 3) \) 位于函数 \( f \) 的图像上，可利用该点求解系数 \( a \)。
\[ f(1) = a(1)^2 + 2 = 3 \]解方程求 \( a \)：
\[ a + 2 = 3 \Rightarrow a = 1 \]因此，函数 \( f \) 的解析式为：
\[ f(x) = x^2 + 2 \]求下图所示二次函数 \( g \) 的解析式，并计算 \( g(-3) \) 的值。
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函数 \( g \) 图像的顶点为极大值点，位于 \( (h, k) = (0, -1) \)。因此，函数 \( g \) 的顶点式可写为：
\[ g(x) = a(x - h)^2 + k = a(x - 0)^2 - 1 = ax^2 - 1 \]现利用图像上的点 \( (1, -2) \) 求解系数 \( a \)：
\[ g(1) = a(1)^2 - 1 = -2 \]解方程求 \( a \)：
\[ a - 1 = -2 \quad \Rightarrow \quad a = -1 \]因此，函数 \( g(x) \) 的解析式为：
\[ g(x) = -x^2 - 1 \]计算 \( g(-3) \) 的值：
\[ g(-3) = -(-3)^2 - 1 = -9 - 1 = -10 \]求下图所示二次函数 \( l \) 的解析式，并计算图像与 x 轴的交点。
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函数 \( l \) 图像的顶点（极大值点）位于 \( (h, k) = (2, 1) \)。函数 \( l \) 的顶点式可写为：
\[ l(x) = a(x - h)^2 + k = a(x - 2)^2 + 1 \]利用函数 \( l \) 图像的 y 轴截距 \( (0, -7) \) 求解系数 \( a \)：
\[ l(0) = a(0 - 2)^2 + 1 = -7 \]解方程求 \( a \)：
\[ a \cdot 4 + 1 = -7 \quad \Rightarrow \quad 4a = -8 \quad \Rightarrow \quad a = -2 \]因此，函数 \( l(x) \) 的解析式为：
\[ l(x) = -2(x - 2)^2 + 1 \]通过解下列方程计算 x 轴截距：
\[ -2(x - 2)^2 + 1 = 0 \]移项后除以 -2：
\[ (x - 2)^2 = \frac{1}{2} \]两边开平方：
\[ x - 2 = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} \] \[ x = 2 \pm \sqrt{\frac{1}{2}} \]因此，函数的 x 轴截距点为：
\[ \left(2 - \sqrt{\frac{1}{2}}, 0\right) \quad \text{与} \quad \left(2 + \sqrt{\frac{1}{2}}, 0\right) \]求下图所示标准形式的二次函数 s 的解析式。
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函数 \( s \) 的图像有两个 x 轴截距：\( (-1, 0) \) 和 \( (2, 0) \)。这意味着方程 \( s(x) = 0 \) 有两个解：\( x = -1 \) 和 \( x = 2 \)。
因此，函数 \( s(x) \) 可写为两个因式的乘积：
\[ s(x) = a(x + 1)(x - 2) \]现利用函数 \( s \) 图像的 y 轴截距 \( (0, -4) \) 确定系数 \( a \)：
\[ s(0) = a(0 + 1)(0 - 2) = -4 \]解方程求 \( a \)：
\[ a = 2 \]函数 \( s(x) \) 的解析式为：
\[ s(x) = 2(x + 1)(x - 2) \]展开并化简，将 \( s(x) \) 化为标准形式：
\[ s(x) = 2(x^2 - x - 2) = 2x^2 - 2x - 4 \]求下图所示标准形式的二次函数 m 的解析式，其图像为以直线 x = -3 为对称轴的抛物线。
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图像对称轴为垂直线 \( x = -3 \)。因此，顶点横坐标 \( h \) 等于 -3，函数 \( m(x) \) 可写为：
\[ m(x) = a(x + 3)^2 + k \]现需确定两个未知数 \( a \) 和 \( k \)。利用函数 \( m \) 图像上的点 \( (-5, 0) \) 和 \( (-2, -\frac{3}{2}) \) 建立方程组：
简化两个方程，得到线性方程组：
\[ 4a + k = 0 \] \[ a + k = -\frac{3}{2} \]解方程组得：
\[ a = \frac{1}{2}, \quad k = -2 \]将值代入函数顶点式：
\[ m(x) = \frac{1}{2}(x + 3)^2 - 2 \]展开并化为标准形式：
\[ m(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x + \frac{5}{2} \]求下图所示标准形式的二次函数 w 的解析式。
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二次函数 \( w(x) \) 的标准形式为：
\[ w(x) = ax^2 + bx + c \]需要确定系数 \( a \)、\( b \) 和 \( c \)。利用函数 \( w \) 图像上的三个点建立三元方程组：
点 \( (0, -\frac{1}{6}) \) 得：
\[ w(0) = a(0)^2 + b(0) + c = -\frac{1}{6} \quad \text{(方程 1)} \]点 \( (1, 0) \) 得：
\[ w(1) = a(1)^2 + b(1) + c = 0 \quad \text{(方程 2)} \]点 \( (3, \frac{10}{3}) \) 得：
\[ w(3) = a(3)^2 + b(3) + c = \frac{10}{3} \quad \text{(方程 3)} \]方程 1 简化为：
\[ c = -\frac{1}{6} \]将 \( c = -\frac{1}{6} \) 代入方程 2 和 3：
\[ a + b = \frac{1}{6} \] \[ 9a + 3b = \frac{7}{2} \]解方程组得：
\[ a = \frac{1}{2}, \quad b = -\frac{1}{3} \]将 \( a \)、\( b \)、\( c \) 代入二次函数标准形式得：
\[ w(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{6} \]