根据图象求二次函数

1. 从图象中识别顶点：$(h, k) = (0, 2)$。

2. 建立顶点式： \[ f(x) = a(x - 0)^2 + 2 = ax^2 + 2 \]

3. 利用点 $(1, 3)$ 求解 $a$： \[ f(1) = a(1)^2 + 2 = 3 \Rightarrow a = 1 \]

最终函数： \[ f(x) = x^2 + 2 \]

1. 顶点：$(0, -1)$。顶点式：$g(x) = ax^2 - 1$。

2. 利用点 $(1, -2)$： \[ a(1)^2 - 1 = -2 \Rightarrow a = -1 \]

3. 方程：$g(x) = -x^2 - 1$。

4. 计算 $g(-3)$： \[ g(-3) = -(-3)^2 - 1 = -9 - 1 = -10 \]

1. 顶点 $(2, 1) \Rightarrow l(x) = a(x - 2)^2 + 1$。

2. 利用 y 轴截距 $(0, -7)$： \[ a(0 - 2)^2 + 1 = -7 \Rightarrow 4a = -8 \Rightarrow a = -2 \]

3. 求 x 轴截距（令 $l(x) = 0$）： \[ -2(x - 2)^2 + 1 = 0 \Rightarrow (x - 2)^2 = 1/2 \]

\[ x = 2 \pm \sqrt{1/2} \]

1. 利用截距 $(-1, 0)$ 和 $(2, 0)$ 的因式分解式： \[ s(x) = a(x + 1)(x - 2) \]

2. 利用 y 轴截距 $(0, -4)$： \[ a(0 + 1)(0 - 2) = -4 \Rightarrow -2a = -4 \Rightarrow a = 2 \]

3. 标准式： \[ s(x) = 2(x^2 - x - 2) = 2x^2 - 2x - 4 \]

1. 顶点式：$m(x) = a(x + 3)^2 + k$。

2. 使用点 $(-5, 0)$ 和 $(-2, -1.5)$ 建立方程组：

\[ \begin{cases} a(-5 + 3)^2 + k = 0 \Rightarrow 4a + k = 0 \\ a(-2 + 3)^2 + k = -1.5 \Rightarrow a + k = -1.5 \end{cases} \]

3. 两式相减：$3a = 1.5 \Rightarrow a = 0.5$。然后 $k = -2$。

4. 标准式： \[ m(x) = 0.5(x + 3)^2 - 2 = 0.5x^2 + 3x + 2.5 \]

使用 $w(x) = ax^2 + bx + c$：

• 点 $(0, -1/6) \Rightarrow c = -1/6$。
• 点 $(1, 0) \Rightarrow a + b - 1/6 = 0 \Rightarrow a + b = 1/6$。
• 点 $(3, 10/3) \Rightarrow 9a + 3b - 1/6 = 10/3 \Rightarrow 9a + 3b = 7/2$。

解此方程组：$a = 1/2, b = -1/3$。

最终函数： \[ w(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{6} \]