其中符号 \( \iff \) 表示“等价于”，\( y \) 是指数，\( b \) 是底数且满足 \( b \gt 0 , b \ne 1 \)，\( x \gt 0 \)
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1) 对数函数和指数函数最重要的性质是它们互为反函数，因此我们可以通过以下关系进行转换：
其中符号 \( \iff \) 表示“等价于”，\( y \) 是指数，\( b \) 是底数且满足 \( b \gt 0 , b \ne 1 \)，\( x \gt 0 \)
数值示例 \[ 2 = \log_3 (9) \iff 9 = 3^2 \] 2) 对数函数和指数函数的一一对应性质
a) 如果 \( \quad b^x = b^y \quad \)，则 \( \quad x = y \)
b) 如果 \( \quad \log_b (x) = \log_b (y) \quad \)，则 \( \quad x = y \) （注意：等式两边对数底数相同）
a) \( \log_x (a) = c \) 转换为指数式 \( a = x^c \)
b) \( \log_b (2x + 1) = 3 \) 转换为指数式 \( 2x + 1 = b^3 \)
a) \( 3^x = m \) 转换为对数式 \( x = \log_3 (m) \)
b) \( x^2 = a \) 转换为对数式 \( 2 = \log_x (a) \)
a)
令 \[ y = \log_2 16 \]
转换为指数形式：\[ 2^y = 16 \]
利用 \( 16 = 2^4\) 可得：\[ 2^y = 2^4 \]
根据指数函数的一一对应性质：“如果 \( 2^y = 2^4 \)，则 y = 4” ，可得：
\[ y = \log_2 16 = 4 \]
b)
令 \[ y = \log_3 27 \]
转换为指数形式：\[ 3^y = 27 \]
利用 \( 27 = 3^3 \) 可得：\[ 3^y = 3^3 \]
根据一一对应性质可得：\[ y = 3 \]
即：\[ y = \log_3 27 = 3 \]
c)
令 \[ y = \log_2 (1/32) \]
转换为指数形式：\[ 2^y = \dfrac{1}{32} \]
利用 \( \dfrac{1}{32} = \dfrac{1}{2^5} = 2^{-5} \) 可得：\[ 2^y = 2^{-5} \]
根据指数函数的一一对应性质可得：\[ y = -5 \]
即：\[ y = \log_2 (1/32) = -5 \]
d)
令 \[ y = \log_{25} 5 \]
转换为指数形式：\[ 25^y = 5 \]
利用 \( 5 = \sqrt{25} = 25^{1/2} \) 可得：\[ 25^y = 25^{1/2} \]
即：\[ y = \log_{25} 5 = 1/2 \]
e)
令 \( y = \log \sqrt{10} \) （注：底数为10）；转换为指数形式：\[ 10^y = \sqrt{10} = 10^{1/2} \]
即：\[ y = \log \sqrt{10} = 1/2 \]
f)
令 \( y = \log_b 1 \) ；转换为指数形式：\[ b^y = 1 = b^0 \quad \text{因此} \quad y = \log_b 1 = 0 \]
g)
令 \( y = \log_{0.1} 10 \) ；转换为指数形式：\[ 0.1^y = 10 \]
利用 \( 10 = 1 / 0.1 = 0.1^{-1} \) ，可得：\[ 0.1^y = 0.1^{-1} \quad \text{即} \quad y = \log_{0.1} 10 = - 1 \]
a)
\( \log_2 x = 3 \) ；转换为指数形式：\[ x = 2^3 = 8 \]
b)
\( \log_x 8 = 3 \) ；转换为指数形式：\[ 8 = x^3 \] 将8写为：\[ 8 = 2^3 = x^3\] 因此 \[ x = 2 \]
c)
\( \log_3 x = 1 \) ；转换为指数形式：\[ x = 3^1 = 3 \]
d)
\( \log_{5.6} x = 0 \) ；转换为指数形式：\[ x = 5.6^0 = 1 \]
e)
\( \log_2 (3x + 1) = 4 \) ；转换为指数形式：\[ 3x + 1 = 2^4 = 16 \] 解方程：\[ 3x + 1 = 16 , 3x = 15 , x = 5 \]
f)
\( \log_3 \dfrac{1}{x+1} = 2 \) ；转换为指数形式：\[ \dfrac{1}{x+1} = 3^2 = 9 \] 解方程：\[ 1 = 9 (x + 1) , x = - 8 / 9 \]
g)
\( \log_4 \dfrac{x+1}{2x-1} = 0 \) ；转换为指数形式：\[ \dfrac{x+1}{2x-1} = 4^0 = 1 \] 解方程：\[ x + 1 = 2x - 1 , x = 2 \]
h)
\( \log ( 1/x + 1 ) = 2 \) ；转换为指数形式：\[ 1/x + 1 = 10^2 = 100 \] 解方程：\[ 1/x + 1 = 100 , 1/x = 99 , x = 1/99 \]
i)
\( \log_x 0.0001 = 4 \) ；转换为指数形式：\[ x^4 = 0.0001 = 1/10000 = 1/10^4 = (1/10)^4 \]
即：\[ x^4 = (1/10)^4 \]
因此：\[ x = 1/10 \]
注意：上述等式中两个指数的底数必须相同。
a)
\( 3^x = 9 = 3^2 \) 因此 \[ x = 2 \]
b)
\( 4^{2x + 1} = 16 = 4^2 \)，即：\[ 4^{2x + 1} = 4^2 \] 因此 \[ 2x + 1 = 2 , x = 1 / 2 \]
c)
\( \left(\dfrac{1}{2} \right)^x = 2 \)
将 \( 2 \) 写为：\[ 2 = \left(\dfrac{1}{2} \right)^{-1} \]
即：\[ \left(\dfrac{1}{2} \right)^x = \left(\dfrac{1}{2} \right)^{-1} \]
因此 \[ x = - 1 \]
d)
\( 10^x = 5 \) ，将指数式转换为以10为底的对数式：\[ \quad x = \log_{10} 5 \]
e)
\( \left(\dfrac{1}{3} \right)^{x/2 - 2} = 9 = 3^2 \)
将 \( 3^2 \) 写为：\[ \left(\dfrac{1}{3} \right)^{-2} \]
即：\[ \left(\dfrac{1}{3} \right)^{x/2 - 2} = \left(\dfrac{1}{3} \right)^{-2} \]
因此 \[ x/2 - 2 = - 2 \]
解得：\[ x = 0 \]
f)
\( 0.01^x = 100 \)
因为：\[ 100 = \dfrac{1}{0.01} = 0.01^{-1} \quad \text{所以} \quad 0.01^x = 0.01^{-1} \]
即：\[ x = -1 \]
g)
已知方程：\[ 2^{2x} - 6 \cdot 2^x = - 8 \]
注意：\[ 2^{2x} = (2^x)^2 \]
令 \( u = 2^x \)，则：\[ u^2 = (2^x)^2 = 2^{2x} \]
将原方程用 \( u \) 表示：\[ u^2 - 6 u + 8 = 0 \]
因式分解：\[ (u - 2)(u - 4) = 0 \]
解得：\[ u = 2 \quad \text{和} \quad u = 4 \]
代回原变量：
\[ u = 2 = 2^x \quad \text{解得：} \quad x = 1 \]
\[ u = 4 = 2^x = 2^2 \quad \text{解得：} \quad x = 2 \]