抛物线问题与详细解答

x 截距是抛物线与 x 轴的交点，这些点在 x 轴上，因此它们的 y 坐标等于 0。因此，我们必须求解方程：

\[ 0 = - x^2 + 2x + 3 \]

将方程右侧因式分解： \[ -(x - 3)(x + 1) = 0 \]

求解 x 得到： \[ x = 3 \quad \text{和} \quad x = -1 \]

y 截距是抛物线与 y 轴的交点，该点在 y 轴上，因此其 x 坐标等于 0。

y 截距为：\( y = - (0)^2 + 2 (0) + 3 = 3 \)

顶点可以通过配方法将抛物线方程写成顶点式 \( y = a(x - h)^2 + k \)，并确定顶点坐标 \( h \) 和 \( k \) 来找到。

配方： \[ y = - x^2 + 2 x + 3 = -( x^2 - 2 x - 3) = -( (x - 1)^2 - 1 - 3) = -(x - 1 )^2 + 4 \]

顶点位于点 \[ (1 , 4) \]

您可以使用下方显示的 \( y = - x^2 + 2 x + 3 \) 的图象来检查上述所有求出的点。

交点是联立方程 \[ 2x + 3y = 7 \quad \text{和} \quad y = - 2 x^2 + 2 x + 5 \] 的解。

在方程 \( 2x + 3y = 7 \) 中，用 \( - 2 x^2 + 2 x + 5 \) 代替 \( y \)：

\[ 2x + 3(- 2x^2 + 2x + 5) = 7 \]

将上面得到的二次方程写成标准形式：

\[ -6x^2 + 8x + 8 = 0 \]

将方程中的所有项除以 2。

\[ -3x^2 + 4x + 4 = 0 \]

求解 x：

\[ x = 2 \quad , \quad x = -2/3 \]

将先前的 x 解代入 \( 2x + 3y = 7 \) 中求 y。

\[ x = 2 , y = 1 \quad \text{和} \quad x = -\frac{2}{3}, \quad y = \frac{25}{9} \]

交点为：

\[ (2 , 1) \quad \text{和} \quad (-\frac{2}{3} , \frac{25}{9} ) \]。

在下方图表中检查答案。

两条抛物线的交点是联立方程的解：

\[ y = -(x - 3)^2 + 2 \quad 和 \quad y = x^2 - 4x + 1 \]。

在第二个方程中用 \( -(x - 3)^2 + 2 \) 代替 \( y \)：

\[ -(x - 3)^2 + 2 = x^2 - 4x + 1 \]

展开、合并同类项并写成标准形式：

\[ -2x^2 + 10x - 8 = 0 \]

将所有项除以 \( -2 \)：

\[ x^2 - 5x + 4 = 0 \]

上述二次方程的解为：

\[ x = 1 \quad 和 \quad x = 4 \]

使用其中一个方程求 y：

\( x = 1 \) 代入方程 \( y = -(x - 3)^2 + 2 \) 得到 \( y = -(1 - 3)^2 + 2 = -2 \)

\( x = 4 \) 代入方程 \( y = -(x - 3)^2 + 2 \) 得到 \( y = -(4 - 3)^2 + 2 = 1 \)

交点为： \[ (1 , -2) \quad \text{和} \quad (4 , 1) \]

在下方图表中检查答案。

点 \((-1,-5)\) 和 \((2,10)\) 位于抛物线 \( y = 2 x^2 + b x + c \) 的图象上，因此它们是抛物线方程的解。代入这两个点的坐标，我们得到以下方程：

\[ -5 = 2 (-1)^2 + b (-1) + c \] 和 \[ 10 = 2 (2)^2 + b (2) + c \]

将包含未知数 \( b \) 和 \( c \) 的上述系统写成标准形式。

\[ - b + c = - 7 \]

\[ 2b + c = 2 \]

求解上述方程组得到：\( c = - 4 \) 且 \( b = 3 \)

经过点 \( (-1,-5) \) 和 \( (2,10) \) 的抛物线方程为： \[ y = 2 x^2 + b x + c = 2 x^2 + 3 x - 4 \]

使用图象绘制工具通过绘制 \( y = 2 x^2 + 3 x - 4 \) 来检查您的答案，并验证该图象是否经过点 \( (-1,-5) \) 和 \((2,10)\)。

x 截距为 \( x = 2 \) 和 \( x = -3 \) 的抛物线方程可以写成两个因式的乘积，其零点即为 x 截距：

\[ y = a(x - 2)(x + 3) \]

我们现在利用 y 截距 (0, 5)（这是抛物线经过的一个点）来写出：

\[ 5 = a(0 - 2)(0 + 3) \]

求解 \(a\)：

\[ a = - \dfrac{5}{6} \]

方程： \[ y = - \dfrac{5}{6} (x - 2)(x + 3) \]

绘制 \( y = - \dfrac{5}{6} (x - 2)(x + 3) \) 的图象并验证该图象的 x 截距为 \( x = 2 , x = -3 \)，y 截距为 \( y = 5 \)。

点 \( (0,3), (1,-4) \) 和 \( (-1,4) \) 位于抛物线 \( y = a x^2 + b x + c \) 的图象上，因此它们是该抛物线方程的解。因此，我们写出包含 3 个方程的方程组：

\[ (0,3) \Rightarrow c = 3 \quad (I) \]

\[ (1,-4) \Rightarrow a + b + c = -4 \quad (II) \]

\[ (-1,4) \Rightarrow a - b + c = 4 \quad (III) \]

方程 (I) 给出：

\[ c = 3 \]

将 (II) 和 (III) 中的 c 代换为 3：

\[ a + b = -7 \]

\[ a - b = 1 \]

求解 \( a \) 和 \( b \) 的方程组得到：

\[ a = - 3 \; , \; b = - 4 \]

抛物线的方程为： \[ y = a x^2 + b x + c = -3 x^2 - 4x + 3 \]

绘制 \( y = -3 x^2 - 4x + 3 \) 的图象，并验证其是否经过点 \( (0,3), (1,-4) \) 和 \( (-1 ,4) \)。

具有垂直对称轴的抛物线方程形式为 \( y = a x^2 + b x + c \)，或者顶点式为 \( y = a(x - h)^2 + k \)，其中顶点位于点 \( (h , k) \)。

在这种情况下，它在 \( x = -2 \) 处与水平线 \( y = 3 \) 相切，这意味着它的顶点位于点 \( (h , k) = (-2 , 3) \)。因此，该抛物线的方程可以写为：

\[ y = a(x - h)^2 + k = a(x - (-2))^2 + 3 = a(x + 2)^2 + 3 \]

其图象经过点 \( (0 , 5) \)，该点必须满足方程：

\[ 5 = a(0 + 2)^2 + 3 = 4 a + 3 \]

求解 \( a \)：

\[ a = \dfrac{1}{2} \]

抛物线的方程为： \[ y = \dfrac{1}{2}(x + 2)^2 + 3 \]

草绘 \( y = \dfrac{1}{2} (x + 2)^2 + 3 \) 的图象，并验证该图象在 \( x = -2 \) 处与水平线 \( y = 3 \) 相切，且图象经过点 \( (0 , 5) \)。

直线与抛物线相切，如果它们只有一个交点，即切点。交点通过求解系统得到：

\( y = m x - 3 \quad 和 \quad y = 3 x^2 - x \)

在第二个方程中用 \( m x - 3 \) 代替 \( y \)：

\[ mx - 3 = 3 x^2 - x \]

写成标准二次方程：

\[ 3 x^2 - x(1 + m) + 3 = 0 \]

上述二次方程的判别式为：

\[ \Delta = (1 + m)^2 - 4(3)(3) \]

若直线与抛物线只有一个交点，则它们相切，这意味着：

\[ \Delta = 0 \]

因此得出方程：

\[ (1 + m)^2 - 4(3)(3) = 0 \]

求解 \( m \)：

\[ (1 + m)^2 = 36 \]

解为： \[ m = 5 \quad 和 \quad m = -7 \]

使用图象绘制工具，通过绘制直线 \( y = 5 x - 3 \)（\( m = 5 \) 解）、\( y = -7 x - 3 \)（\( m = -7 \) 解）以及抛物线 \( y = 3 x^2 - x \)，检查您的答案，并确认两条直线均与抛物线 \( y = 3 x^2 - x \) 相切。

交点通过求解系统得到：

\[ y = 2 x + b \quad 和 \quad y = - x^2 - 2x + 1 \]

在第二个方程中用 \( 2 x + b \) 代替 \( y \)：

\[ 2x + b = - x^2 - 2x + 1 \]

写成标准二次方程：

\[ - x^2 - 4x + 1 - b = 0 \]

上述方程的判别式为：

\[ \Delta = (-4)^2 - 4(-1)(1 - b) = 20 - 4b \]

如果 \( \Delta \gt 0 \)（二次方程有两个实数解的情况），则 \( y = 2 x + b \) 和 \( y = - x^2 - 2 x + 1 \) 的图象有两个交点，因此得到不等式：

\[ 20 - 4 b \gt 0 \]

求解 \( b \)：

\[ b \lt 5 \]

使用图象绘制工具，通过绘制 \( y = - x^2 - 2 x + 1 \) 的图象以及对 \( b \gt 5 \)、\( b \lt 5 \) 和 \( b = 5 \) 的直线 \( y = 2 x + b \) 进行绘图，来检查您的答案，观察对于这些不同的 \( b \) 值，抛物线与直线的交点数量。

交点通过求解系统得到：

\[ y = a x^2 + x \quad 和 \quad y = 3 x + 1 \]

在方程 \( y = a x^2 + x \) 中用 \( 3 x + 1 \) 代替 \( y \)：

\[ 3 x + 1 = a x^2 + x \]

写成标准二次方程：

\[ a x^2 - 2 x - 1 = 0 \]

二次方程的判别式： \[ \Delta = (-2)^2 - 4(a)(-1) = 4 + 4 a \]

如果 \( \Delta = 0 \)，则两图象相切（即二次方程有唯一解的情况）。因此：

\[ 4 + 4 a = 0 \]

求解 \(a\)：

\[ a = -1 \]

抛物线方程： \[ y = -x^2 + x \]

绘制 \( y = - x^2 + x \) 和 \( y = 3 x + 1 \) 的图象以验证上述答案。

从以下开始： \[ y = x^2 \]

向左平移 3 个单位： \[ y = (x + 3)^2 \]

关于 x 轴对称： \[ y = -(x + 3)^2 \]

向上平移 4 个单位： \[ y = -(x + 3)^2 + 4 \]

给定： \[ y = - x^2 + 4 x + 6 \]

通过配方将其重写为顶点式： \[ y = - x^2 + 4 x + 6 = - (x - 2)^2 + 10 \]

初始： \[ y = x^2 \]

向右平移 2 个单位： \[ y = (x - 2)^2 \]

关于 x 轴对称： \[ y = -(x - 2)^2 \]

向上平移 10 个单位： \[ y = -(x - 2)^2 + 10 \]

在给定图象上识别出的任何点都可以用来求抛物线的方程。然而，利用 \( x \) 截距、\( y \) 截距以及顶点是求图象所示抛物线方程的更好方法。

这里介绍了两种求解方法：

方法一：

该图象有两个 x 截距：(-5, 0) 和 (-1, 0)

利用两个 x 截距 (-5, 0) 和 (-1, 0)，将抛物线方程写成两个线性因式的乘积：

\[ y = a(x + 1)(x + 5) \]

利用 y 截距 (0, -5) 写出：

\[ - 5 = a(0 + 1)(0 + 5) = 5 a \]

求解 \(a\)：

\[ a = -1 \]

写出抛物线方程：

\[ y = -(x + 1)(x + 5) = - x^2 - 6 x - 5 \]

方法二：

利用顶点 \( ( h , k) = (-3 , 4) \) 将抛物线方程写成顶点式：

\[ y = a(x - h)^2 + k = a(x + 3)^2 + 4 \]

利用 y 截距 (0, -5) 求 \(a\)。

\[ - 5 = a(0 + 3)^2 + 4 \]

求解 \(a\)： \[ a = -1 \]

抛物线的方程为：

\[ y = -(x + 3)^2 + 4 = - x^2 - 6 x - 5 \]