抛物线问题及详细解答

x 轴截距是抛物线与 x 轴的交点，这些点在 x 轴上，因此它们的 y 坐标等于 0。因此，我们必须解方程： \[ 0 = - x^2 + 2x + 3 \] 对方程右边因式分解：\[ -(x - 3)(x + 1) = 0\] 解 x 得：\[ x = 3 \quad \text{和} \quad x = -1\] , y 轴截距是抛物线与 y 轴的交点，该点在 y 轴上，因此其 x 坐标等于 0。 y 轴截距为：\( y = - (0)^2 + 2 (0) + 3 = 3 \), 通过将抛物线方程写成顶点式 \(y = a(x - h)^2 + k \) 来求顶点，通过配方法并确定顶点坐标 \( h \) 和 \( k \)。 配方：\[ y = - x^2 + 2 x + 3 = -( x^2 - 2 x - 3) = -( (x - 1)^2 - 1 - 3) = -(x - 1 )^2 + 4 \] 顶点在点 \[ (1 , 4) \] 您可以使用下面显示的 \[ y = - x^2 + 2 x + 3 \] 的图像来检查上述所有找到的点。

交点是联立方程 \[ 2x + 3y = 7 \quad \text{和} \quad y = - 2 x^2 + 2 x + 5 \] 的解。 将 \( - 2 x^2 + 2 x + 5 \) 代入方程 \( 2x + 3y = 7 \) 中的 \(y \) 得到 \[ 2x + 3(- 2x^2 + 2x + 5) = 7 \] 将上面得到的二次方程写成标准形式 \[ -6x^2 + 8x + 8 = 0 \] 将方程中的所有项除以 2。 \[ -3x^2 + 4x + 4 = 0 \] 解 x \[ x = 2 \quad , \quad x = -2/3 \] 将 x 的上述解代入 \( 2x + 3y = 7 \) 中求 y。 \[ x = 2 , y = 1 \quad \text{和} \quad x = -\frac{2}{3}, \quad y = \frac{25}{9} \] 交点坐标为： \[ (2 , 1) \quad \text{和} \quad (-\frac{2}{3} , \frac{25}{9} ) \]。 通过下面的图形检查答案。

两条抛物线的交点是联立方程的解 \[ y = -(x - 3)^2 + 2 \quad 和 \quad y = x^2 - 4x + 1 \]。
将第二个方程中的 \( y \) 替换为 \( -(x - 3)^2 + 2 \)： \[ -(x - 3)^2 + 2 = x^2 - 4x + 1 \] 展开，合并同类项并写成标准形式 \[ -2x^2 + 10x - 8 = 0 \] 将所有项除以 \( -2 \) \[ x^2 - 5x + 4 = 0 \] 上述二次方程的解为： \[ x = 1 \quad 和 \quad x = 4 \] 使用其中一个方程求 y：

将 \( x = 1 \) 代入方程 \(y = -(x - 3)^2 + 2 \) 得到 \( y = -(1 - 3)^2 + 2 = -2 \)

将 \( x = 4 \) 代入方程 \( y = -(x - 3)^2 + 2 \) 得到 \( y = -(4 - 3)^2 + 2 = 1 \)

交点坐标为： \[ (1 , -2) \quad \text{和} \quad (4 , 1) \] 通过下面的图形检查答案。

点 \((-1,-5)\) 和 \((2,10) \) 在抛物线 \( y = 2 x^2 + b x + c\) 的图像上，因此是抛物线方程的解。将两点的坐标代入，得到方程：
\[ -5 = 2 (-1)^2 + b (-1) + c\] 和 \[10 = 2 (2)^2 + b (2) + c\] 将上述关于未知数 \( b \) 和 \( c \) 的方程组改写成标准形式。 \[ - b + c = - 7\]
\[ 2b + c = 2\] 解上述方程组得：\( c = - 4 \) 和 \( b = 3\) 经过点 \( (-1,-5)\) 和 \( (2,10)\) 的抛物线方程为：\[ y = 2 x^2 + b x + c = 2 x^2 + 3 x - 4\] 使用绘图仪检查您的答案，绘制 \( y = 2 x^2 + 3 x - 4 \) 的图像，并检查该图像是否经过点 \( (-1,-5) \) 和 \((2,10)\)。

在 \( x = 2 \) 和 \( x = -3 \) 处有 x 轴截距的抛物线方程可以写成两个因子的乘积，其零点即为 x 轴截距，如下所示： \[ y = a(x - 2)(x + 3) \] 我们现在使用 y 轴截距点 (0, 5)，这是抛物线经过的一个点，来写出： \[ 5 = a(0 - 2)(0 + 3) \] 解出 \(a\) \[ a = - \dfrac{5}{6} \] 方程为：\[ y = - \dfrac{5}{6} (x - 2)(x + 3)\] 绘制 \( y = - \dfrac{5}{6} (x - 2)(x + 3)\) 的图像，并验证该图像在 \( x = 2 , x = -3 \) 处有 x 轴截距，在 \( y = 5\) 处有 y 轴截距。

点 \( (0,3), (1,-4) \) 和 \( (-1,4) \) 位于抛物线 \( y = a x^2 + b x + c \) 的图像上，因此是抛物线方程的解。因此，我们写出如下三元方程组： \[ (0,3) \Rightarrow c = 3 \quad (I) \] \[ (1,-4) \Rightarrow a + b + 3 = -4 \Rightarrow a + b = -7 \quad (II) \] \[ (-1,4) \Rightarrow a - b + 3 = 4 \Rightarrow a - b = 1 \quad (III) \] 方程 (I) 给出： \[ c = 3 \] 将 3 代入方程 (II) 和 (III) 中的 c \[ a + b = -7 \] \[ a - b = 1 \] 解方程组求 \( a \) 和 \( b \) 得 \[a = - 3 \; , \; b = - 4 \] 抛物线方程为：\[ y = a x^2 + b x + c = -3 x^2 - 4x + 3 \] 绘制 \( y = -3 x^2 - 4x + 3 \) 的图像，并验证该图像经过点 \( (0,3), (1,-4) \) 和 \( (-1 ,4) \)。

具有垂直对称轴的抛物线方程形式为 \( y = a x^2 + b x + c \) 或顶点式 \( y = a(x - h)^2 + k \)，其中顶点在点 \( (h , k)\) 。

在这种情况下，它在 \( x = -2 \) 处与水平线 \( y = 3 \) 相切，这意味着其顶点在点 \( (h , k) = (-2 , 3) \)。因此，该抛物线的方程可以写为： \[ y = a(x - h)^2 + k = a(x - (-2))^2 + 3 = a(x + 2)^2 + 3 \] 其图像经过点 \( (0 , 5) \)，该点必须满足方程： \[ 5 = a(0 + 2)^2 + 3 = 4 a+ 3 \] 解上述方程求 \( a \) \[ a = \dfrac{1}{2} \] 抛物线方程为：\[ y = \dfrac{1}{2}(x + 2)^2 + 3 \] 绘制 \( y = \dfrac{1}{2} (x + 2)^2 + 3 \) 的图像，并验证该图像在 \( x = -2 \) 处与水平线 \( y = 3 \) 相切，并且图像经过点 \( (0 , 5) \)。

一条直线和一个抛物线相切当且仅当它们只有一个交点，即切点。 交点通过解方程组求得 \( y = m x - 3 \quad 和 \quad y = 3 x^2 - x \) 将第二个方程中的 \( y \) 替换为 \( m x - 3 \)： \[ mx - 3 = 3 x^2 - x \] 写成标准二次方程： \[ 3 x^2 - x(1 + m) + 3 = 0 \] 上述二次方程的判别式为： \[ \Delta = (1 + m)^2 - 4(3)(3) \] 直线与抛物线相切当且仅当它们只有一个交点，这意味着： \[\Delta = 0 \] 因此得到方程： \[(1 + m)^2 - 4(3)(3) = 0 \] 解 \( m \) \[(1 + m)^2 = 36 \] 解为：\[ m = 5 \quad 和 \quad m = -7 \] 使用绘图仪检查您的答案，绘制直线：\( y = 5 x - 3 \) ( \( m = 5 \) 的解 ), \( y = -7 x - 3 \) ( \( m = -7 \) 的解) 和抛物线 \( y = 3 x^2 - x\) 的图像，并检查这两条直线是否与抛物线 \( y = 3 x^2 - x\) 的图像相切。

交点通过解方程组求得 \[ y = 2 x + b \quad 和 \quad y = - x^2 - 2x + 1 \] 将第二个方程中的 \( y \) 替换为 \( 2 x + b \) \[ 2x + b = - x^2 - 2x + 1 \] 写成标准二次方程： \[ - x^2 - 4x + 1 - b = 0 \] 上述方程的判别式为： \[ \Delta = (-4)^2 - 4(-1)(1 - b) = 20 - 4b \] \( y = 2 x + b \) 和 \( y = - x^2 - 2 x + 1 \) 的图像有两个交点当且仅当 \( \Delta \gt 0 \)（二次方程有两个实数解的情况），因此得到不等式 \[ 20 - 4 b \gt 0 \] 解 \( b \) \[ b \lt 5 \] 使用绘图仪检查您的答案，绘制 \( y = - x^2 - 2 x + 1 \) 的图像和通过方程 \( y = 2 x + b \) 表示的直线，分别取 \( b \gt 5 \) , \( b \lt 5 \) 和 \( b = 5 \) 的值，观察对于 \( b \) 的每个值，抛物线和直线有多少个交点。

交点通过解方程组求得 \[ y = a x^2 + x \quad 和 \quad y = 3 x + 1 \] 将方程 \( y = a x^2 + x \) 中的 \( y \) 替换为 \( 3 x + 1 \) \[ 3 x + 1 = a x^2 + x \] 写成标准二次方程： \[ a x^2 - 2 x - 1 = 0 \] 二次方程的判别式：\[ \Delta = (-2)^2 - 4(a)(-1) = 4 + 4 a \] 图像相切当且仅当它们有一个交点（二次方程有唯一解的情况）当且仅当 \( \Delta = 0 \)。因此 \[ 4 + 4 a = 0 \] 解 \(a\) \[ a = -1 \] 抛物线方程：\[ y = -x^2 + x \] 绘制 \( y = - x^2 + x \) 和 \( y = 3 x + 1 \) 的图像来验证上述答案。

起始：\[ y = x^2 \] 向左平移 3 个单位：\[ y = (x + 3)^2 \] 关于 x 轴反射：\[ y = -(x + 3)^2 \] 向上平移 4 个单位：\[ y = -(x + 3)^2 + 4 \]

已知：\[ y = - x^2 + 4 x + 6 \] 通过配方法改写成顶点式：\[ y = - x^2 + 4 x + 6 = - (x - 2)^2 + 10\] 起始：\[ y = x^2\] 向右平移 2 个单位：\[ y = (x - 2)^2\] 关于 x 轴反射：\[ y = -(x - 2)^2 \] 向上平移 10 个单位：\[ y = -(x - 2)^2 + 10 \]

给定图像上任何已识别的点都可用于求抛物线的方程。然而，使用 x 轴截距、y 轴截距和顶点是求下图所示抛物线方程的更好方法。

提出两种方法来解决这个问题：

方法 1：
图像有两个 x 轴截距：(-5, 0) 和 (-1, 0)
使用在 (-5, 0) 和 (-1, 0) 处的两个 x 轴截距，将抛物线方程写成两个线性因子的乘积： \[ y = a(x + 1)(x + 5)\] 使用在 (0, -5) 处的 y 轴截距写出 \[ - 5 = a(0 + 1)(0 + 5) = 5 a\] 解出 \(a \) \[ a = -1 \] 写出抛物线方程： \[ y = -(x + 1)(x + 5) = - x^2 - 6 x - 5 \]

方法 2：

使用顶点 \( ( h , k) = (-3 , 4) \) 将抛物线方程写成顶点式如下： \[ y = a(x - h)^2 + k = a(x + 3)^2 + 4 \] 使用 y 轴截距 (0, -5) 求 \(a\)。 \[ - 5 = a(0 + 3)^2 + 4 \] 解上述方程求 \(a\)：\[ a = -1 \] 抛物线方程由下式给出 \[ y = -(x + 3)^2 + 4 = - x^2 -6 x - 5 \]