化简指数与根式

练习题（包含具挑战性的题目）及详细的分步解答

要化简指数和根式，必须应用指数定律和根式性质。开始之前，请先复习 根式与指数规则。 请尝试在不使用计算器的情况下求解这些数字表达式。

化简含指数的数字表达式

问题 1：计算下列表达式：

  1. \( 3^2 \)
  2. \( -3^4 \)
  3. \( (-3)^4 \)
  4. \( \left( -\dfrac{2}{3} \right)^{-2} \)
  5. \( -3^{-3} + (-2)^{-2} \)
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  1. \( 3^2 = 9 \)
  2. \( -3^4 = -(3 \times 3 \times 3 \times 3) = -81 \)
  3. \( (-3)^4 = -3 \times -3 \times -3 \times -3 = 81 \)
  4. \( \left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(-\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4} \)
  5. \( -3^{-3} + (-2)^{-2} = -\dfrac{1}{27} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{-4 + 27}{108} = \dfrac{23}{108} \)

含根式与分数指数的数字表达式

问题 2：计算下列各题：

  1. \( \sqrt[3]{-8} \)
  2. \( 8^{2/3} \)
  3. \( 16^{-3/4} \)
  4. \( \dfrac{\sqrt[3]{-16}}{\sqrt[3]{2}} \)
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  1. \( \sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{(-2)^3} = -2 \)
  2. \( 8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4 \)
  3. \( 16^{-3/4} = \dfrac{1}{(\sqrt[4]{16})^3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8} \)
  4. \( \dfrac{\sqrt[3]{-16}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\dfrac{-16}{2}} = \sqrt[3]{-8} = -2 \)

化简含指数的代数表达式

问题 3：化简这些表达式：

  1. \( (x^2)^{-2} \)
  2. \( \dfrac{(3x)^2(-2x)^3}{(2x)^2} \)
  3. \( (-2x^2 y^{-3})^3 \)
  4. \( \left (\dfrac{-8x^3}{y^{-6}} \right)^{2/3} \)
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  1. \( (x^2)^{-2} = x^{-4} = \dfrac{1}{x^4} \)
  2. \( \dfrac{9x^2 \cdot (-8x^3)}{4x^2} = \dfrac{-72x^5}{4x^2} = -18x^3 \)
  3. \( (-2)^3 (x^2)^3 (y^{-3})^3 = -8x^6 y^{-9} = \dfrac{-8x^6}{y^9} \)
  4. \( \dfrac{(-8)^{2/3} (x^3)^{2/3}}{(y^{-6})^{2/3}} = \dfrac{4x^2}{y^{-4}} = 4x^2 y^4 \)

化简含根式的代数表达式

问题 4：化简下列各项：

  1. \( \sqrt[4]{16x^4} \)
  2. \( \sqrt[3]{8 x^6 y^3} \)
  3. \( \dfrac{ \sqrt[5]{64x^9 y^7}}{ \sqrt[5]{2 x^4 y^2}} \)
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  1. \( \sqrt[4]{16} \sqrt[4]{x^4} = 2|x| \)
  2. \( 2x^{6/3}y^{3/3} = 2x^2y \)
  3. \( \sqrt[5]{\dfrac{64x^9 y^7}{2x^4 y^2}} = \sqrt[5]{32x^5 y^5} = 2xy \)

挑战题

问题 5：化简下列进阶表达式。假设所有变量均代表正实数。

  1. \( \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x}}} \)
  2. \( \left( \dfrac{81 x^{-4} y^8}{16 x^8 y^{-4}} \right)^{-3/4} \)
  3. \( \dfrac{ \sqrt[3]{a^2b} \cdot \sqrt{ab^3} }{ \sqrt[6]{a^5b^7} } \)
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  1. 第一步：将最内层的根式转换为分数指数。
    \( \sqrt{x \sqrt{x \cdot x^{1/2}}} = \sqrt{x \sqrt{x^{3/2}}} \)

    第二步：通过相乘指数继续向外转换。
    \( \sqrt{x \cdot (x^{3/2})^{1/2}} = \sqrt{x \cdot x^{3/4}} = \sqrt{x^{7/4}} \)

    第三步：最后转换。
    \( (x^{7/4})^{1/2} = \mathbf{x^{7/8}} \)

  2. 第一步：先化简括号内的分数。用分子指数减去分母指数。
    \( \dfrac{81}{16} x^{-4-8} y^{8-(-4)} = \dfrac{81}{16} x^{-12} y^{12} \)

    第二步：应用分数指数的负号，将分数上下翻转。
    \( \left( \dfrac{16 x^{12}}{81 y^{12}} \right)^{3/4} \)

    第三步：对每一项应用 \(3/4\) 次方（注意 \(16 = 2^4\)，\(81 = 3^4\)）。
    \( \dfrac{(2^4)^{3/4} (x^{12})^{3/4}}{(3^4)^{3/4} (y^{12})^{3/4}} = \mathbf{\dfrac{8 x^9}{27 y^9}} \)

  3. 第一步：将所有根式转换为有理指数。
    分子：\( (a^2b)^{1/3} \cdot (ab^3)^{1/2} = a^{2/3}b^{1/3} \cdot a^{1/2}b^{3/2} \)
    分母：\( (a^5b^7)^{1/6} = a^{5/6}b^{7/6} \)

    第二步：通过将指数相加来合并分子中的各项。
    \( a^{2/3 + 1/2} b^{1/3 + 3/2} = a^{7/6} b^{11/6} \)

    第三步：通过减去分母的指数进行除法运算。
    \( a^{7/6 - 5/6} b^{11/6 - 7/6} = a^{2/6} b^{4/6} \)

    第四步：化简分数并写回根式形式。
    \( a^{1/3} b^{2/3} = \mathbf{\sqrt[3]{ab^2}} \)

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