根据图象求正弦函数方程

第一步：求垂直平移与振幅
y 轴上的分度是每个大格代表一个单位。最大值为 \( y_{\text{max}} = 1 \)，最小值为 \( y_{\text{min}} = -7 \)。
垂直平移（\(c\)）： \[ c = \dfrac{y_{\text{max}} + y_{\text{min}}}{2} = \dfrac{1 + (-7)}{2} = -3 \] 振幅（\(a\)）： \[ |a| = \dfrac{y_{\text{max}} - y_{\text{min}}}{2} = \dfrac{1 - (-7)}{2} = 4 \] 因为我们将跟踪一个最大值点来确定平移，所以我们可以使用正余弦函数，即 \( a = 4 \)。

第二步：求周期与 \(b\)
x 轴上的分度是每个大格为 \( \pi \)，每个小格为 \( \dfrac{\pi}{5} \)。
点 A 和点 B 是连续的最大值点。它们之间的水平距离即为周期 \( P = 5\pi \)。
\[ P = \dfrac{2\pi}{|b|} = 5\pi \implies |b| = \dfrac{2}{5} \]

第三步：求相移（\(d\)）
我们使用余弦形式：\( y = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5}(x - d) \right] - 3 \)。
未平移的余弦函数在 \( x = 0 \) 处有最大值。我们的图象在 A 点处有一个最大值，它在 y 轴左侧一个小格：\( x = -\dfrac{\pi}{5} \)。因此，\( d = -\dfrac{\pi}{5} \)。

结论：
代入所有值，方程为： \[ y = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5}\left(x - \left(-\dfrac{\pi}{5}\right)\right) \right] - 3 \implies \mathbf{y = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5}\left(x + \dfrac{\pi}{5} \right) \right] - 3} \]

第一步：求垂直平移与振幅
y 轴上的一个大格是 1 个单位，因此一个小格是 \( 0.2 \)。从图象中可知，\( y_{\text{max}} = 0.2 \) 且 \( y_{\text{min}} = -1.4 \)。
\[ c = \dfrac{0.2 + (-1.4)}{2} = -0.6 \] \[ |a| = \dfrac{0.2 - (-1.4)}{2} = 0.8 \] 我们将使用正余弦函数，因此 \( a = 0.8 \)。

第二步：求周期与 \(b\)
x 轴的大格为 \( \pi \)。点 A 和点 B 是连续的最大值点，位于 \( A\left(\dfrac{\pi}{2}, 0.2\right) \) 和 \( B\left(\dfrac{9\pi}{2}, 0.2\right) \)。
周期为 A 和 B 之间的距离：\( P = \dfrac{9\pi}{2} - \dfrac{\pi}{2} = 4\pi \)。
\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = 4\pi \implies |b| = \dfrac{1}{2} \]

第三步：求相移（\(d\)）
使用余弦函数，最大值出现在 A 点，此时 \( x = \dfrac{\pi}{2} \)。这意味着图象向右平移了 \( \dfrac{\pi}{2} \)，所以 \( d = \dfrac{\pi}{2} \)。

结论：
该图象的方程为： \[ \mathbf{y = 0.8 \cos\left[ \dfrac{1}{2}\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) \right] - 0.6} \]

第一步：求垂直平移与振幅
从图象中可知，\( y_{\text{max}} = 0 \) 且 \( y_{\text{min}} = -2 \)。
\[ c = \dfrac{0 + (-2)}{2} = -1 \] \[ |a| = \dfrac{0 - (-2)}{2} = 1 \] 水平中线位于 \( y = -1 \)。

第二步：求周期与 \(b\)
点 A 和点 B 标志着沿中线的一个完整波周期。A 点在 \( x = 0.6 \)，B 点在 \( x = 2.6 \)。
周期 \( P = 2.6 - 0.6 = 2 \)。
\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = 2 \implies |b| = \pi \]

第三步：求相移（\(d\)）
我们使用的是正弦函数：\( y = a \sin[ b(x - d) ] + c \)。
未平移的正弦函数从其中心线开始并向上延伸。我们的图象在 A 点正好做到了这一点，此时 \( x = 0.6 \)（或 \( \dfrac{3}{5} \））。因此，向右平移量为 \( d = 0.6 \)。由于图象从此处向上走，\( a \) 保持正的 \( 1 \)。

结论：
该图象的方程为： \[ \mathbf{y = \sin\left[ \pi\left(x - \dfrac{3}{5}\right) \right] - 1} \]

第一步：求垂直平移与振幅
从 y 轴来看，\( y_{\text{max}} = -1 \) 且 \( y_{\text{min}} = -3 \)。
\[ c = \dfrac{-1 + (-3)}{2} = -2 \] \[ |a| = \dfrac{-1 - (-3)}{2} = 1 \] 使用正余弦函数，\( a = 1 \)。

第二步：求周期与 \(b\)
点 A 和点 B 是连续的最大值点，位于 \( A\left(\dfrac{3\pi}{5}, -1\right) \) 和 \( B\left(\dfrac{8\pi}{5}, -1\right) \)。
周期 \( P = \dfrac{8\pi}{5} - \dfrac{3\pi}{5} = \dfrac{5\pi}{5} = \pi \)。
\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = \pi \implies |b| = 2 \]

第三步：求相移（\(d\)）
最大值出现在 A 点，此时 \( x = \dfrac{3\pi}{5} \）。这是我们向右的水平平移量，所以 \( d = \dfrac{3\pi}{5} \)。

Conclusion:
该图象的方程为： \[ \mathbf{y = \cos\left[ 2\left(x - \dfrac{3\pi}{5} \right) \right] - 2} \]

第一步：求振幅与垂直平移
最大值为 \( 1 \)，最小值为 \( -5 \)。
\[ c = \dfrac{1 + (-5)}{2} = -2 \]
标准振幅为 \( \dfrac{1 - (-5)}{2} = 3 \)。因为题目要求 \( a < 0 \)，我们必须使用反射的余弦曲线，所以 \( a = -3 \)。

第二步：求周期与 \( b \)
极小值点和紧接着的极大值点之间的水平距离正好代表半个周期。
半周期 = \( 4 - 0 = 4 \)。因此，完整周期 \( P = 8 \)。
\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = 8 \implies b = \dfrac{2\pi}{8} = \dfrac{\pi}{4} \]

第三步：求相移
标准的负余弦曲线（\( - \cos \)）在 y 轴上（当 \( x=0 \) 时）从其极小值开始。既然我们图象的极小值也位于 \( x = 0 \)，则不需要进行水平相移。因此，\( d = 0 \)。

结论：
\[ \mathbf{y = -3\cos\left(\dfrac{\pi}{4}x\right) - 2} \]

第一步：求振幅与垂直平移
最大值 \( = 24 \)，最小值 \( = 18 \)。
垂直平移（平均温度）：\( c = \dfrac{24 + 18}{2} = 21 \)
振幅：\( a = \dfrac{24 - 18}{2} = 3 \)

第二步：求周期与 \( b \)
最小值（\( t=2 \)）与最大值（\( t=14 \)）之间的时间差为 12 小时。这代表半个周期。
周期 \( P = 24 \) 小时。
\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = 24 \implies b = \dfrac{2\pi}{24} = \dfrac{\pi}{12} \]

第三步：求正弦函数的相移
正弦函数从其中线（\( y=21 \)）开始并向上走。我们需要找出发生这种情况时的时刻 \( t \)。向上穿过中线这一点正好发生在最小值和最大值的中点。
时间中点：\( t = \dfrac{2 + 14}{2} = 8 \)（即上午 8:00）。
因此，正弦波从 \( t = 8 \) 开始其周期，这意味着平移量为 \( d = 8 \)。

结论：
\[ \mathbf{T(t) = 3\sin\left(\dfrac{\pi}{12}(t - 8)\right) + 21} \]

第一步：代入坐标点
将 \( x = \dfrac{\pi}{9} \) 和 \( y = 6.5 \) 代入方程中：
\[ 6.5 = 5\sin\left(3\left(\dfrac{\pi}{9}\right) - C\right) + 4 \]

第二步：隔离正弦项
两边减去 4：
\[ 2.5 = 5\sin\left(\dfrac{\pi}{3} - C\right) \]
除以 5：
\[ 0.5 = \sin\left(\dfrac{\pi}{3} - C\right) \]

第三步：解三角方程
我们知道正弦函数在诸如 \( \dfrac{\pi}{6} \) 和 \( \dfrac{5\pi}{6} \) 等角度时等于 \( 0.5 \)。让我们将内部表达式分别等于这些主值。

情况 1：
\[ \dfrac{\pi}{3} - C = \dfrac{\pi}{6} \implies C = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6} \implies \mathbf{C = \dfrac{\pi}{6}} \]

情况 2：
\[ \dfrac{\pi}{3} - C = \dfrac{5\pi}{6} \implies C = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{5\pi}{6} \implies C = -\dfrac{3\pi}{6} = -\dfrac{\pi}{2} \]

由于题目要求的是最小正值，我们选择情况 1 的结果。

结论：
最小正值为 \( C = \dfrac{\pi}{6} \)。