通过练习问题帮助您学习如何根据 正弦函数 的图像确定其方程。正弦型函数的一般形式为： \[ y = a \sin[ b ( x - d) ] + c \quad \text{或} \quad y = a \cos[ b ( x - d) ] + c \] 使用这些公式从正弦或余弦函数图像中识别振幅、周期、相位移动和垂直移动。
y轴的比例尺为一个大格代表一个单位，因此y的最大值：\( y_{\text{最大值}} = 1 \)，y的最小值：\( y_{\text{最小值}} = -7 \)。
x轴的比例尺为一个大格代表 \( \pi \)，一个小格代表 \( \dfrac{\pi}{5 }\)。
点 A 和 B 标记了一个周期 \( P \) 的起点和终点，该周期等于 \( 5\pi \)。这些点很有用，因为它们是具有清晰坐标的最大值点。
由于 A 和 B 是最大值点，更容易将图像方程写为 \[ y = a \cos\left[ b(x - d) \right] + c \] 假设原始函数是 \( \cos(x) \)，该函数在 \( x = 0 \) 时从最大值开始，然后经过垂直和水平平移以及垂直和水平拉伸/收缩变换得到。
让我们计算 \( a \) 和 \( c \)。 \[ |a| = \dfrac{y_{\text{最大值}} - y_{\text{最小值}}}{2} = \dfrac{1 - (-7)}{2} = 4 \] 这给出了 \( a \) 的两个可能值：\( a = 4 \) 或 \( a = -4 \)。
A 和 B 之间的图像与 \( 0 \) 到 \( 2\pi \) 之间的 \( \cos(x) \) 周期相比没有反射，因此我们可以取 \( a = 4 \)。 \[ c = \dfrac{y_{\text{最大值}} + y_{\text{最小值}}}{2} = \dfrac{1 + (-7)}{2} = -3 \] \[ \text{周期： } P = \dfrac{2\pi}{|b|} = 5\pi \] 解上述方程求 \( |b| \) 得： \[ |b| = \dfrac{2}{5} \] 这里我们再次得到 \( b \) 的两个可能值：\( b = \dfrac{2}{5} \) 和 \( b = -\dfrac{2}{5} \)。我们取 \( b = \dfrac{2}{5} \) 以使计算 \( d \) 更容易。
我们现在将图像的函数写为： \[ y = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5}(x - d) \right] - 3 \] \( d \) 表示平移量。通过比较以下函数的图像来确定平移量： \[ y = 4 \cos\left( \dfrac{2}{5}x \right) - 3 \quad \text{(注意 \( d = 0 \))} \] 和给定的图像。我们注意到从图像上看，平移量（点 A 的 x 坐标）\( d = -\dfrac{\pi}{5} \)（向左一个小格）。因此，图像的方程为： \[ y = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5}\left(x - \left(-\dfrac{\pi}{5}\right)\right) \right] - 3 = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5}\left(x + \dfrac{\pi}{5} \right) \right] - 3 \]
我们现在通过检查几个点来验证找到的函数是否与给定图像相符。
点 A：\( x = -\dfrac{\pi}{5} \)；计算在此 \( x \) 值处的 \( y \)。
\[ y\left(-\dfrac{\pi}{5}\right) = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5} \left( -\dfrac{\pi}{5} + \dfrac{\pi}{5} \right) \right] - 3 = 4 \cos(0) - 3 = 1 \] 这与图像上的值相符。
点 B：\( x = 4\pi + \dfrac{4\pi}{5} = \dfrac{24\pi}{5} \)（在 \( 4\pi \) 之后 4 个小格）
\[ y\left( \dfrac{24\pi}{5} \right) = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5} \left( \dfrac{24\pi}{5} + \dfrac{\pi}{5} \right) \right] - 3 = 4 \cos\left( \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{25\pi}{5} \right) - 3 = 4 \cos(2\pi) - 3 = 1 \] 这与图像上的值相符。
\( y \) 的最大值：\( y_{\text{最大值}} = 0.2 \)，\( y \) 的最小值：\( y_{\text{最小值}} = -1.4 \)（沿 \( y \) 轴一个大格等于 1 个单位。一个小格是 \( \dfrac{1}{5} = 0.2 \)）。
沿 \( x \) 轴的比例尺为一个大格代表 \( \pi \)，一个小格代表 \( \dfrac{\pi}{5 }\)。
点 A 和 B 标记了一个周期 \( P \) 的起点和终点，该周期等于 \( 4\pi \)。
点 A 和 B 的坐标为：\( A\left(\dfrac{\pi}{2}, 0.2\right) \), \( B\left(\dfrac{9\pi}{2}, 0.2\right) \)。
A 和 B 之间的图像可以假设是变换后的 \( \cos(x) \) 的图像。因此，给定图像的一个可能方程为：
\[ y = a \cos\left[ b(x - d) \right] + c \]让我们计算 \( a \) 和 \( c \)。
\[ |a| = \dfrac{y_{\text{最大值}} - y_{\text{最小值}}}{2} = \dfrac{0.2 - (-1.4)}{2} = 0.8 \] 这给出了 \( a \) 的两个可能值：\( a = 0.8 \) 或 \( a = -0.8 \)A 和 B 之间的周期与 \( 0 \) 到 \( 2\pi \) 之间的 \( \cos(x) \) 周期相比没有反射，因此我们可以取 \( a = 0.8 \)。
\[ c = \dfrac{y_{\text{最大值}} + y_{\text{最小值}}}{2} = \dfrac{0.2 + (-1.4)}{2} = -0.6 \]周期：\( P = \dfrac{2\pi}{|b|} = 4\pi \)
解方程求 \( |b| \) 得：\( |b| = \dfrac{1}{2} \)。这里我们再次得到 \( b \) 的两个可能值：\( b = \dfrac{1}{2} \) 或 \( b = -\dfrac{1}{2} \)。
我们取 \( b = \dfrac{1}{2} \) 以使计算 \( d \) 更容易。
我们现在将图像的函数写为：
\[ y = 0.8 \cos\left[ \dfrac{1}{2}(x - d) \right] - 0.6 \]\( d \) 表示平移量。通过比较 \( y = 0.8 \cos\left( \dfrac{1}{2}x \right) - 0.6 \)（注意 \( d = 0 \)）的图像和给定图像来确定平移量。我们从图像上注意到平移量（点 A 的 x 坐标）\( d = \dfrac{\pi}{2} \)（向右半个大格）。因此，图像的方程为：
\[ y = 0.8 \cos\left[ \dfrac{1}{2}(x - \dfrac{\pi}{2}) \right] - 0.6 \]我们现在通过检查几个点来验证找到的函数是否与给定图像相符。
点 A：\( x = \dfrac{\pi}{2} \)；计算在此 \( x \) 值处的 \( y \)：
\[ y\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0.8 \cos\left[ \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{2}\right) \right] - 0.6 = 0.8 \cos(0) - 0.6 = 0.2 \]这与图像上的值相符。
点 B：\( x = 4\pi + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{9\pi}{2} \)（在 \( 4\pi \) 之后半个大格）
\[ y\left(\dfrac{9\pi}{2}\right) = 0.8 \cos\left[ \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{9\pi}{2} - \dfrac{\pi}{2}\right) \right] - 0.6 = 0.8 \cos(2\pi) - 0.6 = 0.2 \]这与图像上的值相符。
\( y \) 的最大值：\( y_{\text{最大值}} = 0 \)，\( y \) 的最小值：\( y_{\text{最小值}} = -2 \)（沿 y 轴一个大格等于 1 个单位）。
沿 x 轴的比例尺为一个大格代表 1 个单位，一个小格代表 \( \dfrac{1}{5} = 0.2 \)。
点 A 和 B 标记了一个周期 \( P \) 的起点和终点，计算如下：\( P = 2.6 - 0.6 = 2 \)。 点 A 和 B 的坐标为：\( A(0.6 , 0) \), \( B(2.6 , 0) \)。
A 和 B 之间的图像可以假设是变换后的 \( \sin(x) \) 的图像。因此，给定图像的一个可能方程为： \[ y = a \sin[ b(x - d) ] + c \]
让我们计算 \( a \) 和 \( c \)。
\[ |a| = \dfrac{y_{\text{最大值}} - y_{\text{最小值}}}{2} = \dfrac{0 - (-2)}{2} = 1 \] 这给出了 \( a \) 的两个可能值：\( a = 1 \) 或 \( a = -1 \)
A 和 B 之间的周期与 \( 0 \) 到 \( 2\pi \) 之间的 \( \sin(x) \) 周期相比没有反射，因此我们可以取 \( a = 1 \)。
\[ c = \dfrac{y_{\text{最大值}} + y_{\text{最小值}}}{2} = \dfrac{0 + (-2)}{2} = -1 \]周期： \[ P = \dfrac{2\pi}{|b|} = 2 \] 解方程求 \( |b| \) 得： \[ |b| = \pi \] 这里我们再次得到 \( b \) 的两个可能值：\( b = \pi \) 和 \( b = -\pi \)。 我们取 \( b = \pi \) 以使计算 \( d \) 更简单。
我们现在将图像的函数写为： \[ y = \sin[ \pi(x - d) ] - 1 \]
\( d \) 表示平移量。通过比较 \( y = \sin[ \pi x ] - 1 \)（注意 \( d = 0 \)）的图像和给定图像来确定平移量。 我们从图像上注意到平移量（点 A 的 x 坐标）\( d = 0.6 \)；向右平移。 因此，图像的方程为： \[ y = \sin[ \pi(x - 0.6) ] - 1 = \sin\left[ \pi\left(x - \dfrac{3}{5}\right) \right] - 1 \]
我们现在通过检查几个点来验证找到的函数是否与给定图像相符。
点 A：\( x = 0.6 \)；计算在此 \( x \) 值处的 \( y \)。
\[ y(0.6) = \sin\left[ \pi(0.6 - \dfrac{3}{5}) \right] - 1 = \sin(0) - 1 = -1 \] 这与图像上的值相符。
点 B：\( x = 2.6 \)
\[ y(2.6) = \sin\left[ \pi(2.6 - \dfrac{3}{5}) \right] - 1 = \sin(\pi \cdot 2) - 1 = -1 \] 这与图像上的值相符。
仅检查 A 和 B 处的值是不够的，因为如果使用函数 \[ - \sin\left( \pi x - \dfrac{3\pi}{5} \right) - 1 \] 也会得到相同的值。我们需要检查 A 和 B 之外的一个最大值或最小值点。
点 A 之后的第一个最大值点在 \[ x = 1 + \dfrac{1}{2} \cdot 0.2 = 1.1 \]
\[ y(1.1) = \sin\left[ \pi(1.1 - \dfrac{3}{5}) \right] - 1 = \sin\left( \dfrac{\pi}{2} \right) - 1 = 0 \] 这与图像上的值相符。
\( y \) 的最大值：\( y_{\text{最大值}} = -1 \)，\( y \) 的最小值：\( y_{\text{最小值}} = -3 \)（沿 y 轴一个大格等于 1 个单位。一个小格是 \( \dfrac{1}{5} = 0.2 \)）。沿 x 轴的比例尺为一个大格代表 \( \dfrac{\pi}{5} \)，一个小格代表 \( \dfrac{\pi}{25 }\)。
点 A 和 B 标记了一个周期 \( P \) 的起点和终点，该周期等于 \[ P = \dfrac{8\pi}{5} - \dfrac{3\pi}{5} = \pi \]。
点 A 和 B 的坐标为：\( A\left(\dfrac{3\pi}{5}, -1\right) \), \( B\left(\dfrac{8\pi}{5}, -1\right) \)。
A 和 B 之间的周期可以视为变换后的 \( \cos(x) \) 的周期。因此，给定图像的一个可能方程为： \[ y = a \cos\left[ b(x - d) \right] + c \]
让我们计算 \( a \) 和 \( c \)。 \[ |a| = \dfrac{y_{\text{最大值}} - y_{\text{最小值}}}{2} = \dfrac{-1 - (-3)}{2} = 1 \]
这给出了 \( a \) 的两个可能值：\( a = 1 \) 或 \( a = -1 \)。
A 和 B 之间的周期与 0 到 \( 2\pi \) 之间的 \( \cos(x) \) 周期相比没有反射，因此我们可以取 \( a = 1 \)。
\[ c = \dfrac{y_{\text{最大值}} + y_{\text{最小值}}}{2} = \dfrac{-1 + (-3)}{2} = -2 \] \[ \text{周期： } P = \dfrac{2\pi}{|b|} = \pi \]解方程求 \( |b| \) 得：\( |b| = 2 \)。\( b \) 的两个可能值：\( b = 2 \) 和 \( b = -2 \)。我们取 \( b = 2 \) 以使计算 \( d \) 更容易。
我们现在将图像的函数写为： \[ y = \cos\left[ 2(x - d) \right] - 2 \]
点 A 的 x 坐标表示平移量 \( d \)，通过比较 \( y = \cos\left[ 2x \right] - 2 \)（注意 \( d = 0 \)）的图像和给定图像来确定。我们从图像上注意到 \( d = \dfrac{3\pi}{5} \)。因此，图像的方程为：
\[ y = \cos\left[ 2\left(x - \dfrac{3\pi}{5} \right) \right] - 2 \]
我们现在通过检查几个点来验证找到的函数是否与给定图像相符。
点 A：\( x = \dfrac{3\pi}{5} \)。计算在此 \( x \) 值处的 \( y \)： \[ y\left( \dfrac{3\pi}{5} \right) = \cos\left[ 2\left( \dfrac{3\pi}{5} - \dfrac{3\pi}{5} \right) \right] - 2 = \cos(0) - 2 = -1 \]
这与图像上的值相符。
点 B：\( x = \dfrac{8\pi}{5} \) \[ y\left( \dfrac{8\pi}{5} \right) = \cos\left[ 2\left( \dfrac{8\pi}{5} - \dfrac{3\pi}{5} \right) \right] - 2 = \cos(2\pi) - 2 = -1 \]
这与图像上的值相符。