求多项式的零点

既然 $p(x)$ 在 $x = 2$ 处有一个零点，这意味着 $(x - 2)$ 是 $p(x)$ 的一个因式。我们使用多项式长除法或综合除法将 $p(x)$ 除以 $(x - 2)$：

$$ \dfrac{p(x)}{x - 2} = \dfrac {x^3 + 5x^2 - 2x - 24}{x - 2} = x^2 + 7x + 12 $$

利用除法结果，$p(x)$ 现在可以写成部分因式分解的形式：

$$ p(x) = (x - 2)(x^2 + 7x + 12) $$

接下来，因式分解二次表达式 $x^2 + 7x + 12$。我们需要两个乘积为 12、和为 7 的数字。这两个数字是 3 和 4：

$$ x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) $$

将其代回 $p(x)$ 得到完全因式分解的形式：

$$ p(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 4) $$

通过令方程等于零：$p(x) = 0$ 来求零点。这意味着：

$$ x - 2 = 0 \quad \text{或} \quad x + 3 = 0 \quad \text{或} \quad x + 4 = 0 $$

最终零点：
$$ x = 2, \quad x = -3, \quad x = -4 $$

在 $x = \pm \sqrt{5}$ 处的零点对应线性因式：

$$ (x - \sqrt{5}) \quad \text{和} \quad (x + \sqrt{5}) $$

将这些因式相乘建立二次除数。注意这是一个平方差公式：

$$ (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) = x^2 - 5 $$

因此，多项式 $p(x)$ 可以写为：

$$ p(x) = (x^2 - 5)Q(x) $$

使用多项式长除法求出 $Q(x)$：

$$ Q(x) = \dfrac{3x^4 + 5x^3 - 17x^2 - 25x + 10}{x^2 - 5} = 3x^2 + 5x - 2 $$

现在，因式分解二次式 $Q(x) = 3x^2 + 5x - 2$：

$$ 3x^2 + 5x - 2 = (3x - 1)(x + 2) $$

我们现在可以写出完全因式分解的 $p(x)$：

$$ p(x) = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(3x - 1)(x + 2) $$

最终零点： 令每个因式等于零：
$$ x = \pm \sqrt{5}, \quad x = \dfrac{1}{3}, \quad x = -2 $$

a) 证明重数为 2：
如果 $x = 1$ 是一个重数为 2 的零点，那么 $(x - 1)^2$ 必须是 $p(x)$ 的一个因式。展开 $(x-1)^2$ 得到 $x^2 - 2x + 1$。将 $p(x)$ 除以 $x^2 - 2x + 1$ 必须余数为 0：

$$ \dfrac{x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 6x - 3}{x^2 - 2x + 1} = x^2 - 3 $$

由于余数是 $0$，因此 $x = 1$ 确实是重数为 $2$ 的零点。

b) 求所有零点：
利用上面的除法，$p(x)$ 现在可以写成因式分解形式：

$$ p(x) = (x - 1)^2(x^2 - 3) $$

将二次表达式 $x^2 - 3$ 作为平方差因式分解：

$$ p(x) = (x - 1)^2 (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) $$

最终零点：
$$ x = 1 \text{ (重数 2)}, \quad x = \sqrt{3}, \quad x = -\sqrt{3} $$

c) 草绘图象：
利用因式分解形式和零点，我们制作符号表。注意在 $x=1$ 处（偶数重数），图象会触及坐标轴并折回，而在 $x=\pm\sqrt{3}$ 处（奇数重数），图象会穿过坐标轴。

我们利用 x 截距、符号表、y 截距 $(0 , -3)$ 以及端点行为（由于是偶数次且首项系数为正，两端都朝上）来完成图象绘制：

有理零点定理： 如果 $p(x)$ 是一个系数为整数的多项式，那么任何化简后的有理零点 $\dfrac{m}{n}$ 都必须满足 $m$ 是常数项的因式，$n$ 是首项系数的因式。

常数项 = $2$。2 的因式为：$\pm 1, \pm 2$。
首项系数 = $6$。6 的因式为：$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$。

可能是有理零点（$\dfrac{2 \text{ 的因式}}{6 \text{ 的因式}}$）：

$$ \pm 1, \pm \dfrac{1}{2}, \pm \dfrac{1}{3}, \pm \dfrac{1}{6}, \pm 2, \pm \dfrac{2}{3} $$

由于可能的零点列表很长，我们绘制多项式图象并通过 $x$ 截距的位置来猜测零点。从上图可以看出，零点似乎接近 $-\dfrac{1}{3}$、$\dfrac{1}{2}$ 和 $2$。

我们计算 $p\left(-\dfrac{1}{3}\right)$、$p\left(\dfrac{1}{2}\right)$ 和 $p(2)$ 来进行验证：

$$ p\left(-\dfrac{1}{3}\right) = 6\left(-\dfrac{1}{3}\right)^3 - 13\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2 + \left(-\dfrac{1}{3}\right) + 2 = 0 $$ $$ p\left(\dfrac{1}{2}\right) = 6\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 - 13\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right) + 2 = 0 $$ $$ p(2) = 6(2)^3 - 13(2)^2 + (2) + 2 = 0 $$

最终零点： 所有三个猜测都经验证成立。零点精确为：
$$ x = -\dfrac{1}{3}, \quad x = \dfrac{1}{2}, \quad x = 2 $$

1. 代换简化：
注意这是一个“二次型”多项式。令 $u = x^2$。方程变为：

$$ u^2 - 5u - 36 = 0 $$

2. 因式分解二次式：
我们需要两个乘积为 $-36$、和为 $-5$ 的数字。它们是 $-9$ 和 $4$。

$$ (u - 9)(u + 4) = 0 $$

3. 代回 $x$：
用 $x^2$ 替换 $u$ 以求出 $x$ 的根：

$$ x^2 - 9 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3 $$ $$ x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4 \implies x = \pm 2i $$

最终零点：
该多项式有两个实数零点和两个复数零点：$\mathbf{x = 3, -3, 2i, -2i}$。

1. 共轭根定理：
既然多项式具有实系数，复数根必须以共轭对的形式出现。因此，如果 $x = 1 - i$ 是一个零点，那么 $x = 1 + i$ 也必须是一个零点。

2. 构建因式分解形式：
这三个零点是 $2, 1-i, 1+i$。因式为 $(x - 2)$、$(x - (1-i))$ 和 $(x - (1+i))$。一般方程为：

$$ P(x) = a(x - 2)(x - (1-i))(x - (1+i)) $$

3. 展开复数因式：
将复数部分分组以使用平方差公式：

$$ ((x - 1) + i)((x - 1) - i) = (x - 1)^2 - i^2 $$ $$ = (x^2 - 2x + 1) - (-1) = x^2 - 2x + 2 $$

所以多项式为 $P(x) = a(x - 2)(x^2 - 2x + 2)$。

4. 利用 y 轴截距求解 'a'：
已知 $P(0) = -4$。代入 $x=0$：

$$ -4 = a(0 - 2)(0^2 - 2(0) + 2) $$ $$ -4 = a(-2)(2) \implies -4 = -4a \implies a = 1 $$

5. 展开为标准形式：
$$ P(x) = 1(x - 2)(x^2 - 2x + 2) $$ $$ = x(x^2 - 2x + 2) - 2(x^2 - 2x + 2) $$ $$ = x^3 - 2x^2 + 2x - 2x^2 + 4x - 4 $$ $$ \mathbf{P(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 4} $$

1. 确定可能是有理根：
常数项的因式 (6)：$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$。
首项系数的因式 (2)：$\pm 1, \pm 2$。
可能的根：$\pm 1, \pm \dfrac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \dfrac{3}{2}, \pm 6$。

2. 使用因式定理测试根：
设 $p(x) = 2x^3 - x^2 - 7x + 6$。测试 $x=1$：

$$ p(1) = 2(1)^3 - (1)^2 - 7(1) + 6 = 2 - 1 - 7 + 6 = 0 $$

既然 $p(1) = 0$，则 $x = 1$ 是一个根，且 $(x - 1)$ 是一个因式。

3. 使用综合除法除以 $(x - 1)$：

  1 |   2   -1   -7    6
    |        2    1   -6
    ---------------------
        2    1   -6    0
                        

商是二次式 $2x^2 + x - 6$。

4. 因式分解剩余的二次式：
我们需要因式分解 $2x^2 + x - 6 = 0$。寻找两个乘积为 $(2)(-6) = -12$、和为 $1$ 的数字。这些数字是 $4$ 和 $-3$。

$$ 2x^2 + 4x - 3x - 6 = 0 $$ $$ 2x(x + 2) - 3(x + 2) = 0 $$ $$ (2x - 3)(x + 2) = 0 $$

这给出根 $x = \dfrac{3}{2}$ 和 $x = -2$。

最终零点：
$$ \mathbf{x = 1, \quad x = \dfrac{3}{2}, \quad x = -2} $$