如何通过因式分解、多项式除法和有理根定理求解多项式的零点。
包含12年级数学问题，附详细解答和图形解释。
多项式 \( p \) 定义为 \( p(x) = x^3+5x^2-2x-24 \; \) 在 \( \; x = 2 \) 处有零点。请完全因式分解 \( p \) 并求出所有零点。
由于 \( p(x) \) 在 \( x = 2 \) 处有零点，因此 \( x - 2 \) 是 \( p(x) \) 的因式。用 \( x - 2 \) 除 \( p(x) \)： \[ \dfrac{p(x)}{x - 2} = \dfrac {x^3 + 5 x^2 - 2 x - 24}{x-2} = x^2 + 7 x + 12 \]
通过上述除法，\( p(x) \) 可写为因式形式： \[ p(x) = (x - 2)(x^2 + 7 x + 12) \]
对二次表达式 \( x^2 + 7 x + 12 \) 进行因式分解： \[ x^2 + 7 x + 12 = (x + 3)(x + 4) \] 代入 \( p(x) \)： \[ p(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 4) \]
通过解方程求零点： \[ p(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 4) = 0 \]
为使 \( p(x) \) 等于零，需满足： \[ x - 2 = 0 \quad \text{或} \quad x + 3 = 0 \quad \text{或} \quad x + 4 = 0 \]
解上述方程得 \( p(x) \) 的零点： \[ x = 2, \quad x = - 3, \quad x = - 4 \]
多项式 \( p(x)=3x^4+5x^3-17x^2-25x+10 \) 在 \( x = \pm \sqrt5 \) 处有无理零点。求其余零点。
\( x = \pm \sqrt5 \) 处的零点对应因式： \[ x - \sqrt 5 \quad \text{和} \quad x + \sqrt 5 \] 因此多项式 \( p(x) \) 可写为： \[ p(x) = (x - \sqrt {5})(x + \sqrt {5}) Q(x) = (x^2 - 5)Q(x) \]
通过多项式长除法求 \( Q(x) \)： \[ Q(x) = \dfrac{p(x)}{x^2 - 5} = \dfrac{3 x^4 + 5 x^3 - 17 x^2 - 25 x + 10}{x^2 - 5} = 3 x^2 + 5 x - 2 \]
对 \( Q(x) = 3 x^2 + 5 x - 2 \) 因式分解： \[ Q(x) = 3 x^2 + 5 x - 2 = (3x - 1)(x + 2) \]
完全因式分解 \( p(x) \)： \[ p(x) = (x - \sqrt 5)(x + \sqrt 5)(3x - 1)(x + 2) \]
令各因式为零求所有零点： \[ x = \pm \sqrt 5 , x = \dfrac{1}{3} , x = - 2 \]
多项式 \( p \) 为 \( p(x) = x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 6x - 3 \)
a) 证明 \( x = 1 \) 是二重零点。
b) 求 \( p \) 的所有零点。
c) 绘制 \( p \) 的可能图像。
a) 若 \( x = 1 \) 是二重零点，则 \( (x - 1)^2 \) 是 \( p(x) \) 的因式，且 \( p(x) \) 除以 \( (x - 1)^2 \) 的余数应为 \( 0 \)。长除法得： \[ \dfrac{p(x)}{(x - 1)^2} = \dfrac{x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 6x - 3}{(x - 1)^2} = x^2 - 3 \]
由于余数为零，故 \( x = 1 \) 是二重零点。
b) 根据上述除法，\( p(x) \) 的因式形式为： \[ p(x) = (x - 1)^2(x^2 - 3) \] 对 \( x^2 - 3 \) 因式分解： \[ p(x) = (x - 1)^2 (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) \]
解方程求零点： \[ p(x) = (x - 1)^2 (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) = 0 \] 需满足： \[ (x - 1)^2 = 0, \quad x - \sqrt{3} = 0, \quad \text{或} \quad x + \sqrt{3} = 0 \] 解得： \[ x = 1 \text{ (二重零点)}, \quad x = \sqrt{3}, \quad x = -\sqrt{3} \]
c) 根据因式形式和零点制作符号表：
利用零点（图像中为x轴截距）、符号表和y轴截距 \( (0 , -3) \) 完成图像如下：
使用有理根定理确定多项式 \( p(x) = 6x^3-13x^2+x+2 \) 的所有有理零点。
有理根定理：若 \( p(x) \) 是整系数多项式，且既约分数 \( \dfrac{m}{n} \) 是 \( p(x) \) 的零点，则 \( m \) 是常数项 \( 2 \) 的因数，\( n \) 是首项系数 \( 6 \) 的因数。
求 \( 2 \) 和 \( 6 \) 的因数：
\( 2 \) 的因数：\( \quad \pm 1 \), \( \pm 2 \)
\( 6 \) 的因数：\( \quad \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \)
可能的有理零点：\( 2 \) 的因数除以 \( 6 \) 的因数：\( \quad \pm 1, \pm \dfrac{1}{2}, \pm \dfrac{1}{3}, \pm \dfrac{1}{6}, \pm 2, \pm \dfrac{2}{3} \)
由于可能零点较多，我们绘制多项式图像并从x轴截距位置推测零点。下图显示给定多项式 \( p(x) \) 的零点接近 \( - \dfrac{1}{3} \)、\( \dfrac{1}{2} \) 和 \( 2 \)：
计算验证： \[ p \left(-\dfrac{1}{3} \right) = 6\left(-\dfrac{1}{3} \right)^3 - 13 \left (-\dfrac{1}{3} \right)^2 + \left (-\dfrac{1}{3} \right) + 2 = 0 \] \[ p \left(\dfrac{1}{2} \right) = 6 \left (\dfrac{1}{2} \right)^3 - 13 \left (\dfrac{1}{2} \right)^2 + \left (\dfrac{1}{2} \right) + 2 = 0 \] \[ p(2) = 6(2)^3 - 13(2)^2 + (2) + 2 = 0 \]
通过有理根定理和多项式图像，确定三个零点为 \( -\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2} \) 和 \( 2 \)。