$$ y = a \sin\bigl(k (x - d)\bigr) + c \quad \text{和} \quad y = a \cos\bigl(k (x - d)\bigr) + c $$
通过清晰的解释、分步例题和详细的解答，本简介涵盖了振幅、周期、相移和垂直平移等核心概念，帮助您掌握三角函数图像的绘制。
绘图参数
振幅： $ |a| $
周期： $ \dfrac{2\pi}{|k|} $
水平平移（相移）： $d$。若 $-d$ 为正则向左平移，若 $-d$ 为负则向右平移。
垂直平移： $c$。若 $c$ 为正则向上平移，若 $c$ 为负则向下平移。
单位圆基础
为了草绘变换后的正弦和余弦函数，我们需要知道如何草绘基本的正弦和余弦函数。单位圆（半径 = 1）给出了 5 个关键点处的 $\sin(x)$ 和 $\cos(x)$ 值，这些点可用于绘制更复杂的函数。单位圆上任意一点的坐标给出了与该点对应的标准位置角的余弦值和正弦值。
- 角 $x = 0$ 对应于点：$ (1, 0) = (\cos(0), \sin(0)) $
- 角 $x = \pi/2$（或 90°）对应于点：$ (0, 1) = (\cos(\pi/2), \sin(\pi/2)) $
- 角 $x = \pi$（或 180°）对应于点：$ (-1, 0) = (\cos(\pi), \sin(\pi)) $
- 角 $x = 3\pi/2$（或 270°）对应于点：$ (0, -1) = (\cos(3\pi/2), \sin(3\pi/2)) $
- 角 $x = 2\pi$（或 360°）对应于点：$ (1, 0) = (\cos(2\pi), \sin(2\pi)) $
草绘正弦与余弦函数：带详细解答的例题
例题 1：垂直拉伸与平移
在一个周期内草绘函数 $y = 2 \cos(x) + 1$ 的图像。
解答：
绘图参数
- 振幅： $|2| = 2$
- 周期： $2\pi$
- 垂直平移： $1$（向上 1 个单位）
- 水平平移： $0$
绘制函数 $y = 2 \cos(x) + 1$ 的三个步骤：
1) 我们首先利用单位圆中的 $x$ 和 $y$ 值草绘 $y = \cos(x)$（如下面的蓝色图像）。
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \dfrac{\pi}{2} & \pi & \dfrac{3\pi}{2} & 2\pi \\ \hline y & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ \hline \end{array} $$
2) 然后，通过将 $y = \cos(x)$ 拉伸 2 倍来草绘 $y = 2 \cos(x)$（如下面的绿色图像）。
3) 最后，通过向上平移 1 个单位来草绘 $y = 2 \cos(x) + 1$（如下面的红色图像）。
例题 2：垂直拉伸、平移与反射
在一个周期内草绘函数 $y = - 2 \sin(x) - 1$ 的图像。
解答：
绘图参数
- 振幅： $|-2| = 2$
- 周期： $2\pi$
- 垂直平移： $-1$（向下 1 个单位）
- 水平平移： $0$
绘制函数 $y = - 2 \sin(x) - 1$ 的三个步骤：
1) 我们首先利用单位圆中的 $x$ 和 $y$ 值草绘 $y = \sin(x)$（如下面的蓝色图像）。
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \dfrac{\pi}{2} & \pi & \dfrac{3\pi}{2} & 2\pi \\ \hline y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ \hline \end{array} $$
2) 然后，通过将 $y = \sin(x)$ 拉伸 2 倍并关于 x 轴进行反射来草绘 $y = - 2 \sin(x)$（如下面的绿色图像）。
3) 最后，通过向下平移 1 个单位来草绘 $y = - 2 \sin(x) - 1$（如下面的红色图像）。
例题 3：周期改变与相移
在一个周期内草绘函数 $y = 3 \cos(2x + \dfrac{\pi}{3}) - 1$ 的图像。
解答：
绘图参数
- 振幅： $|3| = 3$
- 周期： $\dfrac{2\pi}{2} = \pi$
- 垂直平移： $-1$（向下 1 个单位）
水平平移： 由于有 $\dfrac{\pi}{3}$ 项，图像发生水平平移。我们首先将给定函数重写为：
$$ y = 3 \cos\left[ 2\left( x + \dfrac{\pi}{6} \right) \right] - 1 $$
现在可以写出平移量等于向左 $\dfrac{\pi}{6}$。
绘制函数 $y = 3 \cos(2x + \dfrac{\pi}{3}) - 1$ 的三个步骤：
1) 首先草绘 $3 \cos(2x)$，在一个周期 $=\pi$ 内最小值为 -3，最大值为 +3（如下面的蓝色图像）。
2) 然后通过将前一个图像向下平移 1 个单位来草绘 $y = 3 \cos(2x) - 1$（如下面的绿色图像）。
3) 现在将前一个图像向左平移 $\dfrac{\pi}{6}$（如下面的红色图像），使得草绘的周期从 $-\dfrac{\pi}{6}$ 开始，到 $-\dfrac{\pi}{6} + \pi = \dfrac{5\pi}{6}$ 结束，这是一个周期 $=\pi$。
例题 4：小数参数
在一个周期内草绘函数 $y = -0.2 \sin\left(0.5x - \dfrac{\pi}{6} \right) + 0.1$ 的图像。
解答：
绘图参数
- 振幅： $|-0.2| = 0.2$
- 周期： $\dfrac{2\pi}{0.5} = 4\pi$
- 垂直平移： $0.1$（向上 0.1 个单位）
水平平移： 由于有 $- \dfrac{\pi}{6}$ 项，图像发生水平平移。我们首先将给定函数重写为：
$$ y = -0.2 \sin\left( 0.5\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) \right) + 0.1 $$
现在可以写出平移量等于向右 $\dfrac{\pi}{3}$。
绘制函数 $y = -0.2 \sin\left(0.5x - \dfrac{\pi}{6} \right) + 0.1$ 的三个步骤：
1) 首先草绘 $y = -0.2 \sin(0.5x)$，在一个周期 $= 4\pi$ 内最小值为 $-0.2$，最大值为 $0.2$（如下面的蓝色图像）。
2) 然后通过将前一个图像向上平移 0.1 个单位来草绘 $y = -0.2 \sin(0.5x) + 0.1$（如下面的绿色图像）。
3) 然后将前一个图像向右平移 $\dfrac{\pi}{3}$（如下面的红色图像），使得草绘的周期从 $\dfrac{\pi}{3}$ 开始，到 $\dfrac{\pi}{3} + 4\pi$ 结束，这为一个周期 $= 4\pi$。
例题 5：使用度数
在一个周期内草绘函数 $y = 2 \cos(2x - 60^\circ) - 2$ 的图像。
解答：
绘图参数
- 振幅： $|2| = 2$
- 周期： $\dfrac{360^\circ}{2} = 180^\circ$
- 垂直平移： $-2$（向下 2 个单位）
水平平移： 由于有 $-60^\circ$ 项，图像发生水平平移。我们首先将给定函数重写为：
$$ y = 2 \cos\left[ 2 \left( x - 30^\circ \right) \right] - 2 $$
现在可以写出平移量等于向右 $30^\circ$。
绘制函数 $y = 2 \cos(2x - 60^\circ) - 2$ 的三个步骤：
1) 首先草绘 $y = 2 \cos(2x)$，在一个周期 $= 180^\circ$ 内最小值为 $-2$，最大值为 $+2$（如下面的蓝色图像）。
2) 然后通过将前一个图像向下平移 2 个单位来草绘 $y = 2 \cos(2x) - 2$（如下面的绿色图像）。
3) 最后，将前一个图像向右平移 $30^\circ$（如下面的红色图像），使得草绘的周期从 $30^\circ$ 开始，到 $30^\circ + 180^\circ = 210^\circ$ 结束，这为一个周期 $= 180^\circ$。
例题 6：分数周期
在一个周期内草绘函数 $y = -2 \sin\left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{\pi}{3}\right) - 1$ 的图像。
解答：
绘图参数
- 振幅： $|-2| = 2$
- 周期： $\dfrac{2\pi}{\dfrac{1}{3}} = 6\pi$
- 垂直平移： $-1$（向下 1 个单位）
水平平移： 由于有 $\dfrac{\pi}{3}$ 项，图像发生水平平移。我们首先将给定函数重写为：
$$ y = -2 \sin\left(\dfrac{1}{3}(x + \pi)\right) - 1 $$
现在可以写出平移量等于向左 $\pi$。
绘制函数 $y = -2 \sin\left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{\pi}{3}\right) - 1$ 的三个步骤：
1) 首先草绘 $-2 \sin\left(\dfrac{x}{3}\right)$，在一个周期 $= 6\pi$ 内最小值为 $-2$，最大值为 $+2$（如下面的蓝色图像）。
2) 然后通过将前一个图像向下平移 1 个单位来草绘 $y = -2 \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) - 1$（如下面的绿色图像）。
3) 然后将前一个图像向左平移 $\pi$（如下面的红色图像），使得草绘的周期从 $-\pi$ 开始，到 $5\pi$ 结束，这为一个周期 $= 6\pi$。
