下面通过清晰的示例和完整解答的习题，介绍矩阵的加法、减法、标量乘法以及矩阵相等等运算。
只有同阶（行数和列数相同）的矩阵才能相加或相减。我们通过相加或相减对应元素来对两个矩阵进行加法或减法。
如果可能，将以下每个表达式改写为单个矩阵。
a) \[ \begin{bmatrix} 5 & -7 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -8 & -3 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} \]
b) \[ \begin{bmatrix} 5 & -7 & 5 \\ -2 & 3 & -4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ 9 & -3 \\ 10 & -9 \end{bmatrix} \]
c) \[ \begin{bmatrix} x+y & -y & x \\ 3x & -9 & -2 \\ -3x & 4 & 4y-x \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2x & y & 3x \\ -3 & 12 & -5 \\ y & x & 2+3y \end{bmatrix} \]
a) 这两个矩阵具有相同的阶（\( 2 \times 2 \)），因此我们可以通过相加对应元素来相加它们：
\[ \begin{bmatrix} 5 + (-8) & -7 + (-3) \\ 4 + 4 & 6 + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -10 \\ 8 & 6 \end{bmatrix} \]b) 这两个矩阵不具有相同的阶（一个是 \( 2 \times 3 \) 矩阵，另一个是 \( 3 \times 2 \) 矩阵），因此我们不能相加它们。
c) 这两个矩阵具有相同的阶，因此我们可以通过相减对应元素并化简代数表达式来相减它们：
$$ \begin{aligned} & \begin{bmatrix} x + y & -y & x \\ 3x & -9 & -2 \\ -3x & 4 & 4y - x \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2x & y & 3x \\ -3 & 12 & -5 \\ y & x & 2 + 3y \end{bmatrix} \\[15pt] =\; & \begin{bmatrix} x + y - (2x) & -y - (y) & x - (3x) \\ 3x - (-3) & -9 - (12) & -2 - (-5) \\ -3x - (y) & 4 - (x) & 4y - x - (2 + 3y) \end{bmatrix} \\[15pt] =\; & \begin{bmatrix} -x + y & -2y & -2x \\ 3x + 3 & -21 & 3 \\ -3x - y & 4 - x & -x + y - 2 \end{bmatrix} \end{aligned} $$要将矩阵与标量（实数）相乘，您将该矩阵的所有元素乘以该标量。注意标量乘法不改变矩阵的阶。
表示为单个矩阵。
a) \[ -5 \begin{bmatrix} 5 & -7 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} \]
b) \[ 2 \begin{bmatrix} x & x + y & 6 \\ -2 & -x & 1 \end{bmatrix} - 3 \begin{bmatrix} -x & -2y & 0 \\ 3x & x & -1 \end{bmatrix} \]
a) 将每个元素乘以标量 \( -5 \)：
\[ = \begin{bmatrix} -5(5) & -5(-7) \\ -5(4) & -5(6) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -25 & 35 \\ -20 & -30 \end{bmatrix} \]b) 首先，将第一个矩阵乘以 \( 2 \)，第二个矩阵乘以 \( 3 \)：
\[ = \begin{bmatrix} 2(x) & 2(x + y) & 2(6) \\ 2(-2) & 2(-x) & 2(1) \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3(-x) & 3(-2y) & 3(0) \\ 3(3x) & 3(x) & 3(-1) \end{bmatrix} \]相减、合并并化简代数表达式：
\[ = \begin{bmatrix} 2x - (-3x) & (2x + 2y) - (-6y) & 12 - 0 \\ -4 - 9x & -2x - 3x & 2 - (-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5x & 2x + 8y & 12 \\ -4 - 9x & -5x & 5 \end{bmatrix} \]如果两个矩阵具有相同的阶（行数相等且列数相等）并且它们的所有对应元素都相等，则它们相等。
以下哪些矩阵相等？
\[ \text{a)} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad \text{b)} \begin{bmatrix} x & 2x \\ 2 & 1 \end{bmatrix}, \quad \text{c)} \begin{bmatrix} 1 & -x \\ 3x & 5 \end{bmatrix}, \quad \text{d)} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad \text{e)} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 3 & 4 & 8 \end{bmatrix} \]矩阵 a)、b)、c) 和 d) 具有相同的阶（\( 2 \times 2 \)）。然而，只有矩阵 a) 和 d) 相等，因为它们的所有对应元素都相同。矩阵 e) 的阶为 \( 2 \times 3 \)，与其他矩阵不同，因此不等于任何其他矩阵。
求 \( x \) 和 \( y \)，使得：
\[ \begin{bmatrix} 2x + y & -7 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ 4 & 4x + y \end{bmatrix} \]两个矩阵具有相同的阶。要使这些矩阵相等，它们的所有对应元素必须相等。常数 \(-7\) 和 \(4\) 已经匹配。令未知元素相等，得到方程组：
\[ 2x + y = 2 \quad \text{且} \quad 6 = 4x + y \]解此方程组（用第二式减去第一式），得到：
\[ x = 2, \quad y = -2 \]验证： 将 \( x = 2 \) 和 \( y = -2 \) 代回矩阵，验证它们是否相同。
如果可能，求 \( x \) 和 \( y \)，使得：
A) \[ \begin{bmatrix} 2x + y & 3 & 10 \\ y + 1 & -2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 10 \\ 3 & -2 & 0 \end{bmatrix} \]
两个矩阵具有相同的阶，要相等，它们需要具有相等的对应元素。令它们相等得到方程组：
\[ 2x + y = 2 \quad \text{且} \quad y + 1 = 3 \]先解第二个方程得到 \( y = 2 \)。将其代入第一个方程得到 \( 2x + 2 = 2 \implies x = 0 \)。
B) \[ \begin{bmatrix} 6 & -4 & -6 & x - y \end{bmatrix} = -2 \begin{bmatrix} -3 & 2 & 2x + 2y & 13 \end{bmatrix} \]
将第二个矩阵乘以标量 \(-2\)，并改写方程：
\[ \begin{bmatrix} 6 & -4 & -6 & x - y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & -4 & -2(2x + 2y) & -26 \end{bmatrix} \]要使矩阵相等，我们令未知的对应元素相等：
\[ -2(2x + 2y) = -6 \quad \text{且} \quad x - y = -26 \]将第一个方程除以 \(-4\) 化简，得到 \( x + y = 1.5 \)（或 \( \frac{3}{2} \)）。解此方程组得到：
\[ x = -\frac{49}{4}, \quad y = \frac{55}{4} \]写为单个矩阵：
A) \[ \begin{bmatrix} -2 & 4 & 3 \\ -6 & 3 & -4 \\ -1 & 0 & 9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 0 & 23 \\ -4 & -3 & 9 \\ 2 & -5 & 0 \end{bmatrix} \]
B) \[ -2 \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -5 \end{bmatrix} + 4 \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ -2 & 9 \end{bmatrix} \]
C) \[ -3 \begin{bmatrix} -2x & y + 2 & 6 \\ 4 & -x & -4 \end{bmatrix} + 5 \begin{bmatrix} 3x & 5y & -5 \\ 3y & x + y & -1 \end{bmatrix} \]
首先将每个矩阵乘以其标量：
\[ \begin{bmatrix} 6x & -3y - 6 & -18 \\ -12 & 3x & 12 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 15x & 25y & -25 \\ 15y & 5x + 5y & -5 \end{bmatrix} \]然后将对应元素相加：
\[ = \begin{bmatrix} 21x & 22y - 6 & -43 \\ -12 + 15y & 8x + 5y & 7 \end{bmatrix} \]