基变换 – 示例与解答

向量空间中的向量可以根据所选基用不同的坐标向量表示。本页解释如何使用基变换矩阵在两个基之间转换，并配有已解答示例和详细解答。

坐标变换矩阵

给定向量空间 \( V \) 的两个基 \( A = \{ \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \dots, \mathbf{a}_n \} \) 和 \( B = \{ \mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \dots, \mathbf{b}_n \} \)，从 \(B\) 到 \(A\) 的坐标变换矩阵定义为：

\[ P_{A \leftarrow B} = \begin{bmatrix} [\mathbf{b}_1]_A & [\mathbf{b}_2]_A & \dots & [\mathbf{b}_n]_A \end{bmatrix}, \]

其中 \( [\mathbf{b}_i]_A \) 是 \( \mathbf{b}_i \) 在基 \( A \) 下的坐标向量。

类似地，从 \(A\) 到 \(B\) 的坐标变换矩阵为：

\[ P_{B \leftarrow A} = \begin{bmatrix} [\mathbf{a}_1]_B & [\mathbf{a}_2]_B & \dots & [\mathbf{a}_n]_B \end{bmatrix}. \]

这两个矩阵互为逆矩阵：

\[ P_{B \leftarrow A} = (P_{A \leftarrow B})^{-1}. \]

关键思想。 基变换矩阵 \( P_{A \leftarrow B} \) 将坐标向量从基 \( B \) 转换到基 \( A \)。其列是 \( B \) 的向量在 \( A \) 基下的表示。
记号说明。 下标 \( P_{A \leftarrow B} \) 读作“从 \( B \) 到 \( A \) 的 P”——它将坐标从基 \( B \) 转换到基 \( A \)。
特殊情况。 如果 \( A \) 是标准基 \( \{e_1, \dots, e_n\} \)，则 \( P_{A \leftarrow B} = \begin{bmatrix} \mathbf{b}_1 & \mathbf{b}_2 & \dots & \mathbf{b}_n \end{bmatrix} \)——即以 \( B \) 的向量为列的矩阵。

坐标变换矩阵的应用

如果 \( A \) 和 \( B \) 是向量空间 \( V \) 的基，\( \mathbf{x} \) 是 \( V \) 中的任意向量，我们可以使用基变换矩阵在其坐标之间转换：

\[ [\mathbf{x}]_A = P_{A \leftarrow B} [\mathbf{x}]_B \quad \text{且} \quad [\mathbf{x}]_B = P_{B \leftarrow A} [\mathbf{x}]_A. \]

应用。 基变换矩阵用于物理学和工程学中切换坐标系（例如笛卡尔 ↔ 极坐标），计算机图形学中在局部和全局坐标系之间旋转，以及数值线性代数中通过变换到更方便的基来简化系统。

示例与解答

例 1 — \(\mathbb{R}^2\) 中的基变换

给定向量空间 \( V \) 的基 \( A \) 和 \( B \)：

\[ A = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ -3 \end{bmatrix} \right\}, \qquad B = \left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} \right\}. \]

(a) 求 \( P_{A \leftarrow B} \)。  (b) 求 \( P_{B \leftarrow A} \)。  (c) 证明两个矩阵互为逆。

解答

(a) 求 \( P_{A \leftarrow B} \)。

根据定义，\( P_{A \leftarrow B} = \begin{bmatrix} [\mathbf{b}_1]_A & [\mathbf{b}_2]_A \end{bmatrix} \)。 构造增广矩阵 \( [A \mid B] \)：

\[ \begin{bmatrix} 1 & -2 & | & 2 & 1 \\ 2 & -3 & | & 1 & 3 \end{bmatrix}. \]

行化简得到 \( [I \mid P_{A \leftarrow B}] \)：

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & | & -4 & 3 \\ 0 & 1 & | & -3 & 1 \end{bmatrix}. \]

因此

\[ P_{A \leftarrow B} = \begin{bmatrix} -4 & 3 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}. \]

(b) 求 \( P_{B \leftarrow A} \)。

构造增广矩阵 \( [B \mid A] \)：

\[ \begin{bmatrix} 2 & 1 & | & 1 & -2 \\ 1 & 3 & | & 2 & -3 \end{bmatrix}. \]

行化简得到 \( [I \mid P_{B \leftarrow A}] \)：

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & | & \tfrac{1}{5} & -\tfrac{3}{5} \\ 0 & 1 & | & \tfrac{3}{5} & -\tfrac{4}{5} \end{bmatrix}. \]

因此

\[ P_{B \leftarrow A} = \begin{bmatrix} \tfrac{1}{5} & -\tfrac{3}{5} \\ \tfrac{3}{5} & -\tfrac{4}{5} \end{bmatrix}. \]

(c) 证明两个矩阵互为逆。

\[ P_{A \leftarrow B} P_{B \leftarrow A} = \begin{bmatrix} -4 & 3 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tfrac{1}{5} & -\tfrac{3}{5} \\ \tfrac{3}{5} & -\tfrac{4}{5} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. \]

\[ P_{B \leftarrow A} P_{A \leftarrow B} = \begin{bmatrix} \tfrac{1}{5} & -\tfrac{3}{5} \\ \tfrac{3}{5} & -\tfrac{4}{5} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -4 & 3 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. \]

例 2 — \(\mathbb{R}^4\) 的 3 维子空间中的基变换

给定子空间 \( V \) 的基 \( A \) 和 \( B \) 以及向量 \( \mathbf{x} \)：

\[ A = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \right\}, \quad B = \left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \\ -3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \\ -2 \end{bmatrix} \right\}, \]

\[ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 6 \\ -3 \end{bmatrix}. \]

(a) 求 \( P_{A \leftarrow B} \)。  (b) 求 \( P_{B \leftarrow A} \)。  (c) 求 \( [\mathbf{x}]_A \) 和 \( [\mathbf{x}]_B \)。  (d) 验证 \( [\mathbf{x}]_A = P_{A \leftarrow B} [\mathbf{x}]_B \) 和 \( [\mathbf{x}]_B = P_{B \leftarrow A} [\mathbf{x}]_A \)。

解答

(a) 求 \( P_{A \leftarrow B} \)。

对增广矩阵 \( [A \mid B] \) 进行行化简：

\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 2 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & -1 & | & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & | & -1 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & 2 & | & 2 & -3 & -2 \end{bmatrix} \xrightarrow{\text{RREF}} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}. \]

因此

\[ P_{A \leftarrow B} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}. \]

注意： 最后一行为零是预期的——\(A\) 和 \(B\) 只张成 \( \mathbb{R}^4 \) 的一个 3 维子空间。

(b) 求 \( P_{B \leftarrow A} \)。

对 \( [B \mid A] \) 进行行化简：

\[ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 3 & | & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 3 & 4 & | & 0 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & -2 & | & 0 & -1 & 2 \end{bmatrix} \xrightarrow{\text{RREF}} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 2 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}. \]

因此

\[ P_{B \leftarrow A} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}. \]

(c) 求 \( [\mathbf{x}]_A \) 和 \( [\mathbf{x}]_B \)。

要求 \( [\mathbf{x}]_A \)，对 \( [A \mid \mathbf{x}] \) 进行行化简：

\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 5 \\ 1 & 0 & -1 & | & 2 \\ 0 & 2 & -1 & | & 6 \\ 0 & -1 & 2 & | & -3 \end{bmatrix} \xrightarrow{\text{RREF}} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 2 \\ 0 & 1 & 0 & | & 3 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix} \;\Rightarrow\; [\mathbf{x}]_A = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}. \]

要求 \( [\mathbf{x}]_B \)，对 \( [B \mid \mathbf{x}] \) 进行行化简：

\[ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 3 & | & 5 \\ 0 & 1 & 1 & | & 2 \\ -1 & 3 & 4 & | & 6 \\ 2 & -3 & -2 & | & -3 \end{bmatrix} \xrightarrow{\text{RREF}} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix} \;\Rightarrow\; [\mathbf{x}]_B = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}. \]

(d) 验证变换公式。

\[ P_{A \leftarrow B} [\mathbf{x}]_B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} = [\mathbf{x}]_A. \quad \checkmark \]

\[ P_{B \leftarrow A} [\mathbf{x}]_A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = [\mathbf{x}]_B. \quad \checkmark \]

更多参考与链接