负指数：练习题与分步解答 - 八年级数学

本页旨在帮助学生、家长和教师通过精心挑选的练习题和带解释的分步解答掌握负指数主题。展开每个问题下方隐藏的解答，揭示每一步背后的核心规则和推理。

本页上的问题涵盖了核心的代数技能，包括：

复习：指数核心规则

规则名称 公式
负指数规则 \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \)
分数的负指数 \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n \)
积的乘方 \( (a \times b)^n = a^n \times b^n \)
商的乘方 \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n} \)
零指数规则 \( a^0 = 1 \)   （其中 \( a \neq 0 \)）

练习题与解答

  1. 化简表达式：\( 5^{-2} \)
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    步骤 1：应用负指数规则 \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \)。
    \[ 5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} \]
    步骤 2：计算分母中的平方。
    \[ = \dfrac{1}{25} \]
  2. 计算：\( \left( -\dfrac{1}{3} \right)^{-2} \)
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    步骤 1：使用分数负指数规则 \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n \)。颠倒分数并使指数变为正数。
    \[ \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{-2} = \left(-\dfrac{3}{1}\right)^2 \]
    步骤 2：简化括号内的分数。
    \[ = (-3)^2 \]
    步骤 3：负数的平方变为正数。
    \[ = 9 \]
  3. 化简表达式：\( \dfrac{5^{-1}}{3^{-1}} \)
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    步骤 1：应用负指数规则跨分数的分子分母移动因式。分子中的负指数移至分母，分母中的负指数移至分子。
    \[ \dfrac{5^{-1}}{3^{-1}} = \dfrac{3^1}{5^1} \]
    步骤 2：化简。
    \[ = \dfrac{3}{5} \]
  4. 计算：\( (2^{-3}) \times (3^{-2}) \)
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    步骤 1：使用负指数规则重写每一项。
    \[ (2^{-3})(3^{-2}) = \dfrac{1}{2^3} \times \dfrac{1}{3^2} \]
    步骤 2：计算指数。
    \[ = \dfrac{1}{8} \times \dfrac{1}{9} \]
    步骤 3：相乘分数。
    \[ = \dfrac{1}{72} \]
  5. 化简表达式：\( -2^{-3} \)
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    步骤 1：理解运算顺序。该指数仅应用于底数 \(2\)，而不应用于负号。
    \[ -2^{-3} = -\left(2^{-3}\right) \]
    步骤 2：对底数应用负指数规则。
    \[ = -\left(\dfrac{1}{2^3}\right) \]
    步骤 3：计算指数。
    \[ = -\dfrac{1}{8} \]
  6. 计算：\( -1^{-3} + 2^{-3} \)
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    步骤 1：在加法或取负之前先计算指数。注意在 \( -1^{-3} \) 中，指数仅应用于 \(1\)。
    \[ -\left(\dfrac{1}{1^3}\right) + \dfrac{1}{2^3} \]
    步骤 2：计算分母。
    \[ = -1 + \dfrac{1}{8} \]
    步骤 3：寻找公分母以相加各项。
    \[ = -\dfrac{8}{8} + \dfrac{1}{8} = -\dfrac{7}{8} \]
  7. 计算：\( (-1)^{-4} + 2^{-3} \)
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    步骤 1：这里括号表示负号是底数的一部分。应用负指数规则。
    \[ \dfrac{1}{(-1)^4} + \dfrac{1}{2^3} \]
    步骤 2：计算指数。负数的偶数次幂为正数。
    \[ = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{8} = 1 + \dfrac{1}{8} \]
    步骤 3：寻找公分母进行相加。
    \[ = \dfrac{8}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{9}{8} \]
  8. 化简表达式：\( \left( -4^{-2} \right) \left( 2^{2} \right) \)
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    步骤 1：处理第一项。指数 \(-2\) 仅应用于 \(4\)，而不应用于负号。
    \[ \left(-\dfrac{1}{4^2}\right) \times (2^2) \]
    步骤 2：计算指数。
    \[ = \left(-\dfrac{1}{16}\right) \times 4 \]
    步骤 3：相乘并化简分数。
    \[ = -\dfrac{4}{16} = -\dfrac{1}{4} \]
  9. 计算：\( (-1)^{-3} + 2^{0} \)
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    步骤 1：对第一项应用负指数规则，并记住第二项的零指数规则（\(a^0 = 1\)）。
    \[ \dfrac{1}{(-1)^3} + 1 \]
    步骤 2：计算指数。负数的奇数次幂保持为负数。
    \[ = \dfrac{1}{-1} + 1 \]
    步骤 3：化简。
    \[ = -1 + 1 = 0 \]
  10. 计算：\( 0^{-3} \)
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    步骤 1：使用负指数规则重写。
    \[ 0^{-3} = \dfrac{1}{0^3} \]
    步骤 2：计算分母。
    \[ = \dfrac{1}{0} \]
    步骤 3：除以零在数学上是不可能的。因此，该表达式未定义。

链接与参考资料