单项式：加、减、乘、除

1. 理解单项式的系数

取一个数（例如 \(-2\)\) 和一个带指数的变量（例如 \(x^2\)\)，将它们相乘：\(-2 \times x^2\)。为了简便，我们去掉乘法符号，将其写成单项式：\(-2x^2\)。

标准单项式的例子包括：\( x \)、\( 2x \)、\( 3x^2 \)、\( -0.1x \)、\( -\dfrac{3}{4}x^2y^2 \)、\( -y \)。

定义：系数

单项式的系数是位于该项前方的数字部分。

示例 1：识别系数

\( \color{red}{2}x \) 的系数是 \(2\)。
\( \color{red}{-3}x^2 \) 的系数是 \(-3\)。
\( \color{red}{-\dfrac{5}{2}}y^3x \) 的系数是 \(-\dfrac{5}{2}\)。
\( x \) 的系数（即 \( \color{red}{1}x \)）是 \(1\)。 注意：我们写作 \(x\)，而不是 \(1x\)。
\( -x^2 \) 的系数（即 \( \color{red}{-1}x^2 \)）是 \(-1\)。 注意：我们写作 \(-x^2\)，而不是 \(-1x^2\)。

2. 单项式的加法与减法

我们只能对同类项（即含有完全相同的变量且对应变量的指数完全相同的项）的单项式进行加法和减法运算。

\( -3x^2 \)、\( 4x^2 \) 和 \( -x^2 \) 是同类项，可以相加。
\( -y^2x \)、\( 4y^2x \) 和 \( -xy^2 \) 是同类项，可以相加。 （注意：\(xy^2\) 和 \(y^2x\) 是相同的）。

示例 2：加法与减法

a) \( 2x + 4x \)

\[ \begin{aligned} \color{red}{2}x + \color{red}{4}x &= \color{red}{(2 + 4)}x \quad && \text{（提取变量 } x\text{）} \\ &= 6x \quad && \text{（相加系数）} \end{aligned} \]

b) \( 3x^2 - x^2 \)

\[ \begin{aligned} \color{red}{3}x^2 \color{red}{- 1}x^2 &= \color{red}{(3 - 1)}x^2 \quad && \text{（提取变量 } x^2\text{）} \\ &= 2x^2 \quad && \text{（相减系数）} \end{aligned} \]

c) \( 3x^2y - x^2y + 4yx^2 \)

\[ \begin{aligned} 3x^2y - 1x^2y + 4x^2y &= \color{red}{(3 - 1 + 4)}x^2y \quad && \text{（合并系数）} \\ &= 6x^2y \end{aligned} \]

3. 单项式乘法

指数的乘法法则

您可以将任意两个单项式相乘；它们不需要是同类项。使用指数的乘积法则：

\( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \)

示例 3：乘法

a) \( (x)(6x) \)

\[ \begin{aligned} (\color{red}{1}\color{blue}{x})(\color{red}{6}\color{blue}{x}) &= \color{red}{(1 \cdot 6)}\color{blue}{(x \cdot x)} \quad && \text{（将系数和变量分组）} \\ &= 6x^{1+1} = 6x^2 \quad && \text{（应用指数法则）} \end{aligned} \]

b) \( (5x^2y)(-y^2x) \)

\[ \begin{aligned} (5x^2y)(-1y^2x) &= (5 \cdot -1)(x^2 \cdot x)(y \cdot y^2) \\ &= -5 x^{2+1} y^{1+2} \\ &= -5x^3y^3 \end{aligned} \]

4. 单项式除法

指数的除法法则

只要除数不为零，您可以将任意两个单项式相除。使用指数的商法则：

\( \dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \)

示例 4：除法

a) \( \dfrac{-x^2}{x} \)

\[ \begin{aligned} \dfrac{\color{red}{-1}\color{blue}{x^2}}{\color{red}{1}\color{blue}{x}} &= \color{red}{\dfrac{-1}{1}} \cdot \color{blue}{\dfrac{x^2}{x}} \\ &= -1 \cdot x^{2-1} \\ &= -x \end{aligned} \]

b) \( \dfrac{-2x^4y^3}{6x^2y^2} \)

\[ \begin{aligned} \dfrac{-2x^4y^3}{6x^2y^2} &= \color{red}{\dfrac{-2}{6}} \cdot \color{blue}{\dfrac{x^4}{x^2}} \cdot \color{green}{\dfrac{y^3}{y^2}} \\ &= -\dfrac{1}{3} \cdot x^{4-2} \cdot y^{3-2} \\ &= -\dfrac{1}{3}x^2y \end{aligned} \]

练习题

测试您的技能。先自行解答以下问题，然后点击“查看分步解答”检查您的工作。

确定每个单项式的系数：
1. \( x^2 \)
2. \( -2y \)
3. \( 3xy \)
4. \( -yx^2 \)
5. \( yx^3 \)
6. \( -\dfrac{4}{7}y \)
7. \( 0.01x^3y \)
8. \( -\dfrac{xy^3}{4} \)
查看分步解答
1. \( x^2 = 1 \cdot x^2 \) → 系数 = 1
2. \( -2y = -2 \cdot y \) → 系数 = -2
3. \( 3xy = 3 \cdot xy \) → 系数 = 3
4. \( -yx^2 = -1 \cdot yx^2 \) → 系数 = -1
5. \( yx^3 = 1 \cdot yx^3 \) → 系数 = 1
6. \( -\dfrac{4}{7}y = -\dfrac{4}{7} \cdot y \) → 系数 = \(-\dfrac{4}{7}\)
7. \( 0.01x^3y = 0.01 \cdot x^3y \) → 系数 = 0.01
8. \( -\dfrac{xy^3}{4} = -\dfrac{1}{4} \cdot xy^3 \) → 系数 = \(-\dfrac{1}{4}\)
对以下单项式进行加减运算：
1. \( 2x - 4x + 8x \)
2. \( -x^2 - 7x^2 \)
3. \( 3xy - xy + 3yx \)
4. \( x^2y^2 - y^2x^2 \)
5. \( x - \dfrac{1}{3}x \)
查看分步解答
1. \( (2 - 4 + 8)x = \mathbf{6x} \)
2. \( (-1 - 7)x^2 = \mathbf{-8x^2} \)
3. \( (3 - 1 + 3)xy = \mathbf{5xy} \) （注意：\(xy = yx\)）
4. \( (1 - 1)x^2y^2 = 0x^2y^2 = \mathbf{0} \) （注意：\(x^2y^2 = y^2x^2\)）
5. \( \left(1 - \dfrac{1}{3}\right)x = \left(\dfrac{3}{3} - \dfrac{1}{3}\right)x = \mathbf{\dfrac{2}{3}x} \)
对以下单项式进行乘法运算：
1. \( (-x^2)(-2x) \)
2. \( (-x^2y)(-y^2x^2) \)
3. \( \left(-\dfrac{1}{2}x^2\right)(-2x^2) \)
4. \( (4xy)\left(-\dfrac{3}{4}y^2z\right) \)
5. \( (-2)\left(-\dfrac{3}{2}x^2y\right) \)
查看分步解答
1. \( (-1 \cdot -2)(x^2 \cdot x) = \mathbf{2x^3} \)
2. \( (-1 \cdot -1)(x^2 \cdot x^2)(y \cdot y^2) = 1 \cdot x^4 \cdot y^3 = \mathbf{x^4y^3} \)
3. \( \left(-\dfrac{1}{2} \cdot -2\right)(x^2 \cdot x^2) = (1)x^4 = \mathbf{x^4} \)
4. \( \left(4 \cdot -\dfrac{3}{4}\right)(x)(y \cdot y^2)(z) = \mathbf{-3xy^3z} \)
5. \( \left(-2 \cdot -\dfrac{3}{2}\right)(x^2y) = \mathbf{3x^2y} \)
对以下单项式进行除法运算：
1. \( \dfrac{x^3}{-x^2} \)
2. \( \dfrac{-3x^4}{-x^2} \)
3. \( \dfrac{-5x^3y^3}{15x^2y^2} \)
4. \( \dfrac{-16x^2y^2z^3}{8x^2y} \)
5. \( \dfrac{-20xy^2}{-5} \)
查看分步解答
1. \( \dfrac{1x^3}{-1x^2} = \left(\dfrac{1}{-1}\right)x^{3-2} = (-1)x^1 = \mathbf{-x} \)
2. \( \dfrac{-3x^4}{-1x^2} = \left(\dfrac{-3}{-1}\right)x^{4-2} = \mathbf{3x^2} \)
3. \( \left(\dfrac{-5}{15}\right)\left(\dfrac{x^3}{x^2}\right)\left(\dfrac{y^3}{y^2}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{3}xy} \)
4. \( \left(\dfrac{-16}{8}\right)\left(\dfrac{x^2}{x^2}\right)\left(\dfrac{y^2}{y}\right)(z^3) = -2(1)(y)(z^3) = \mathbf{-2yz^3} \)
5. \( \left(\dfrac{-20}{-5}\right)xy^2 = \mathbf{4xy^2} \)
化简并在可能的情况下写成单个单项式：
1. \( 9x^2y \cdot \dfrac{y^2}{3x^2} \)
2. \( x^2y \cdot \dfrac{3x}{x^2} \)
3. \( \dfrac{y}{3x^2} \cdot x^3 \)
4. \( \dfrac{x^3}{2y^2} \cdot \dfrac{2xy^3}{x^2} \)
查看分步解答
1. \( \dfrac{9x^2y \cdot y^2}{3x^2} = \dfrac{9x^2y^3}{3x^2} = \left(\dfrac{9}{3}\right)\left(\dfrac{x^2}{x^2}\right)(y^3) = \mathbf{3y^3} \)
2. \( \dfrac{x^2y \cdot 3x}{x^2} = \dfrac{3x^3y}{x^2} = 3\left(\dfrac{x^3}{x^2}\right)y = \mathbf{3xy} \)
3. \( \dfrac{y \cdot x^3}{3x^2} = \dfrac{x^3y}{3x^2} = \left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{x^3}{x^2}\right)y = \mathbf{\dfrac{1}{3}xy} \)
4. \( \dfrac{x^3 \cdot 2xy^3}{2y^2 \cdot x^2} = \dfrac{2x^4y^3}{2x^2y^2} = \left(\dfrac{2}{2}\right)\left(\dfrac{x^4}{x^2}\right)\left(\dfrac{y^3}{y^2}\right) = \mathbf{x^2y} \)

单项式运算：示例与练习题