Équation de l'hyperbole

Définition et équation d'une hyperbole à axe transversal horizontal

Une hyperbole est l'ensemble de tous les points \( M(x,y)\) dans un plan tel que la différence des distances de \( M \) aux points fixes \( F_1 \) et \( F_2 \) appelée la foyers (pluriel de focus) est égal à une constante.
\( \overline{MF_2} - \overline{MF_1} = \sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2} = \pm 2 a \)
En éliminant les racines carrées par mise au carré et en simplifiant à l'aide de la relation \( c^2 = a^2 + b^2\), l'équation standard d'une hyperbole peut s'écrire :

\( \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \)


où \( a \gt 0\), \( b \gt 0\) et \( c \gt 0\).
Le point \(O(0,0)\) est le centre de l'hyperbole.
Les points \( V_1(a,0) \) et \( V_2(-a,0) \) sont appelés les sommets de l'ellipse.
Les foyers sont à \( F_1(c,0) \) et \( F_2(-c,0) \)
graphique mettant en évidence la définition de une hyperbole
Asymptotes de l'hyperbole
Si l'on résout l'équation de l'hyperbole pour \( y \), on obtient
\( y = \pm \dfrac{b}{a} \sqrt{x^2 - a^2} \)
À mesure que \( |x| \) augmente indéfiniment, \( y \) se rapproche de \(\pm \dfrac{b}{a} x \). Par conséquent, les droites avec les équations \( y = \pm \dfrac{b}{a} x \) sont appelées asymptotes de l'hyperbole.
Le graphique d'une hyperbole et ses asymptotes (lignes pointillées) sont présentés ci-dessous.

graphique avec asymptotes d'un hyperbole


Exemple 1
Une hyperbole, d'axe transversal horizontal , centrée en \( (0,0) \) a x intersections en \( (3,0) \) et \( ( -3 ,0) \) et des foyers en \( (5 ,0) \) et \( (-5,0) \). Trouvez l'équation de l'hyperbole et ses asymptotes.

Solution de l'exemple 1
Les x à l'origine d'une hyperbole d'axe transversal horizontal sont les sommets donnés par \( (a , 0) \) et \( (-a , 0) \) . Donc \( a = 3 \)
Les foyers sont donnés par \( F_1(c,0) = F_1(5,0)\) et \( F_2(-c,0) = F_2(-5,0)\). Donc \( c = 5 \)
\(a \), \(b \) et \(c \) sont liés par \( c^2 = a^2 + b^2\) ce qui donne l'équation
\( 5^2 = 3^2 + b^2\)
Résoudre pour obtenir
\( b = 4 \)
L'équation de l'hyperbole est donnée par
\( \dfrac{x^2}{3^2} - \dfrac{y^2}{4^4} = 1 \)



Équation générale
On peut généraliser et écrire l'équation d'une hyperbole dont le centre est en \( O(h,k) \) comme suit

\( \dfrac{(x-h)^2}{a^2} - \dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \)


avec des foyers en \( F_1(c+h,k) \) et \( F_2(-c+h,k) \) et des sommets en \( V_1(a+h,k) \) et \( V_2(- a+h,k) \), et la relation \( c^2 = a^2 + b^2\).
Les asymptotes sont données par \( y = \pm \dfrac{b}{a} (x - h) + k\)

Exemple 2 Trouver l'équation de l'hyperbole de sommets en \( V_1(2,2) \) et \( V_2(-4,2) \) et dont les asymptotes sont données par les équations \( y = \pm \dfrac{2} {5} (x - h) + k_0 \) où K_0 est une constante. Trouvez les équations des asymptotes et tracez le graphique de l'hyperbole donnée et de ses asymptotes.

Solution de l'exemple 2
Les sommets sont donnés par \( V_1(a+h,k) = V_1(2,2) \) et \( V_2(-a+h,k) = V_2(-4,2) \)
ce qui donne \( k = 2 \) et \( a+h = 2 \) et \( -a+h = - 4 \)
Résolvez les deux dernières équations de \( a \) et \( h \) pour obtenir
\(a = 3\) et \( h = -1 \)
Les asymptotes sont données par \( y = = \pm \dfrac{2}{5} (x - h) + K_0 = \pm \dfrac{b}{a} (x - h) + k \)
D'où \( \dfrac{b}{a} = \dfrac{2}{5} \)
Remplacez \( a \) par \( 3 \) dans l'équation ci-dessus et résolvez \( b \) pour obtenir
\(b = \dfrac{6}{5}\)
\( K_0 = k = 2 \)
Les équations des asymptotes sont données par \( y = \pm \dfrac{2}{5} (x - h) + 2 \)

graphique de l'hyperbole avec des sommets et des asymptotes par exemple 2



Équation d'une hyperbole à axe transversal vertical

L'équation d'une hyperbole d'axe transversal vertical dont le centre est en \( O(h,k) \) est donnée par

\( \dfrac{(y-k)^2}{a^2} - \dfrac{(x-h)^2}{b^2} = 1 \)


avec des foyers en \( F_1(h,k+c) \) et \( F_2(h,k-c) \) et des sommets en \( V_1(h,k+a) \) et \( V_2(h,k-a) \), et la relation \( c^2 = a^2 + b^2\).
Les asymptotes sont données par \( y = \pm \dfrac{a}{b} (x - h) + k\)

Exemple 3
L'équation d'une hyperbole est donnée par \( \dfrac{(y-2)^2}{3^2} - \dfrac{(x+3)^2}{2^2} = 1 \). Trouvez son centre, ses foyers, ses sommets et ses asymptotes et représentez-le graphiquement.

Solution de l'exemple 3
L'équation donnée est celle d'une hyperbole à axe transversal vertical. Comparez-la à l’équation générale donnée ci-dessus, nous pouvons écrire
\( h = -3, k = 2, a = 3\) et \( b = 2, c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \ carré{13} \)
Le centre est en \( O(h,k) = O(-3,2) \)
Les foyers sont à \( F_1(h,k+c) = F_1(-3,2+\sqrt{13})\) et \( F_2(-3,2-\sqrt{13}) \)
Les sommets sont à \( V_1(h,k+a) = V_1(-3,5) \) et \( V_2(h,k-a) = V_2(-3,-1) \)
Les équations des asymptotes sont données par
\( y = \dfrac{3}{2}(x + 3) + 2 \) et \( y = - \dfrac{3}{2}(x + 3) + 2 \)
Le graphique de l'équation donnée de l'hyperbole, son centre, ses foyers, ses sommets et ses asymptotes est présenté ci-dessous.

graphique de l'hyperbole avec centre, foyers, sommets et asymptotes par exemple 3



Tutoriel interactif sur l'équation d'une hyperbole à axe transversal horizontal

Une application pour explorer l'équation d'une hyperbole et ses propriétés est maintenant présentée. L'équation utilisée est l'équation standard qui a la forme

\( \dfrac{(x - h)^2}{a^2} - \dfrac{(y - k)^2}{b^2} = 1\)


L'exploration s'effectue en modifiant les paramètres \( a, b, h \) et \( k \) inclus dans l'équation ci-dessus de l'hyperbole. Les valeurs par défaut, lorsque vous ouvrez cette page, sont : \( a = 2, b = 3, h = -1 \) et \( k = 2 \).
Certaines activités sont répertoriées ci-dessous mais de nombreuses autres activités peuvent être générées.
Cliquez sur le bouton "Plot Equation" pour commencer.

\(a \) = \(b \) = \(h \) = \(k \) =


Passez le curseur de la souris sur le graphique du point tracé pour lire les coordonnées.

Cliquez sur le bouton au-dessus de « Tracer l'équation ». Vous pouvez passer le curseur mousse sur le graphique pour tracer les coordonnées. Vous pouvez également passer le curseur mousse en haut à droite du graphique pour avoir la possibilité de télécharger le graphique sous forme de fichier png.
1 - Sélectionnez un point M sur le graphique de l'hyperbole, passez la mousse dessus et lisez les coordonnées. Lire les coordonnées de F1 et F2 (légende de droite) ou survoler la mousse et lire leurs coordonnées et montrer que la différence des distances \( \overline{MF_1} - \overline{MF_2} \) est proche de \( 2a\) si \( \overline{MF_1} \gt \overline{MF_2} \) ou \( - 2a\) si \( \overline{MF_1} \lt \overline{MF_2} \).
Vous pouvez réaliser l’activité ci-dessus pour différentes valeurs de \( a, b, h\) et \( k \) avec autant de points que nécessaire pour mieux comprendre la définition d’une hyperbole.
2 - Utilisez les valeurs de \( a \) et \( b \) pour trouver \( c \) en utilisant la relation entre \( a, b\) et \( c \) donnée par \( c^2 = a ^2 + b^2\).
Utilisez les résultats ci-dessus pour trouver les coordonnées de \( F_1, F_2, V_1 \) et \( V_2 \) et vérifiez les résultats graphiquement.

3 - Définissez \( a, b, h\) et \( k \) sur certaines valeurs. Recherchez les interceptions x et y et vérifiez vos résultats graphiquement.
4 -
Exercice :
Montrer par des calculs algébriques que l'équation suivante \( \dfrac{(x + 2)^2}{5} - 5(y-3)^2 = 5 \) est celle d'une hyperbole et trouver le centre, les foyers et les sommets de l'ellipse donnée par l'équation, puis utilisez l'application pour la représenter graphiquement et vérifier vos réponses.



Plus de références et de liens vers des sujets liés à l'équation de l'hyperbole

Hyperbole
Problèmes d'algèbre universitaire avec réponses exemple 10 : Équation de l'hyperbole
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