Ce tutoriel explique comment résoudre des équations différentielles linéaires du premier ordre en utilisant la méthode du facteur intégrant. Vous y trouverez une dérivation claire de la formule, suivie d'exemples entièrement résolus et d'exercices d'entraînement avec leurs réponses.
Forme générale
Une équation différentielle linéaire du premier ordre a la forme :
\[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \]où \( P(x) \) et \( Q(x) \) sont des fonctions connues de \( x \).
Dérivation du facteur intégrant
Multiplions les deux côtés par une fonction inconnue \( u(x) \) :
\[ u(x)\frac{dy}{dx} + u(x)P(x)y = u(x)Q(x) \]Nous voulons que le côté gauche devienne la dérivée d'un produit. En utilisant la règle du produit :
\[ \frac{d(uy)}{dx} = y\frac{du}{dx} + u\frac{dy}{dx} \]Pour que cela corresponde à l'expression précédente, nous exigeons :
\[ y\frac{du}{dx} = uP(x)y \]En divisant par \( y \) :
\[ \frac{du}{dx} = uP(x) \]ou
\[ \frac{1}{u}\frac{du}{dx} = P(x) \]En intégrant :
\[ \ln u = \int P(x)\,dx \]Par conséquent, le facteur intégrant est :
En multipliant l'équation originale par ce facteur, on obtient :
\[ \frac{d(uy)}{dx} = u(x)Q(x) \]En intégrant les deux côtés :
\[ u(x)y = \int u(x)Q(x)\,dx \]Enfin :
Exemples résolus
Exemples résolus étape par étape
Exemple 1
Résoudre :
\[ \frac{dy}{dx} - 2xy = x \]Ici, \( P(x) = -2x \) et \( Q(x) = x \).
\[ u(x) = e^{\int -2x\,dx} = e^{-x^2} \] \[ e^{-x^2}y = \int xe^{-x^2}\,dx \] \[ e^{-x^2}y = -\frac{1}{2} e^{-x^2} + C \] \[ y = Ce^{x^2} - \frac{1}{2} \]Exemple 2
Résoudre pour \( x > 0 \) :
\[ \frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = -2 \] \[ u(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = x \] \[ xy = \int -2x\,dx = -x^2 + C \] \[ y = \frac{C}{x} - x \]Exemple 3
\[ x\frac{dy}{dx} + y = -x^3,\quad x > 0 \]Divisons par \( x \) :
\[ \frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = -x^2 \] \[ u(x) = x \] \[ xy = \int -x^3\,dx = -\frac{x^4}{4} + C \] \[ y = \frac{C}{x} - \frac{x^3}{4} \]Exercices et réponses
Problèmes d'entraînement et solutions
Résoudre :
- \(\dfrac{dy}{dx} + y = 2x + 5\)
- \(\dfrac{dy}{dx} + y = x^4\)
Réponses :
- \( y = 2x + 3 + Ce^{-x} \)
- \( y = x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 24x + 24 + Ce^{-x} \)
Pour aller plus loin
Astuce : La méthode du facteur intégrant est fondamentale en analyse et apparaît fréquemment en physique, en ingénierie et en mathématiques appliquées.