Qu'est-ce que la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 pour les équations différentielles ?

La méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 est une technique numérique permettant d'approximer les solutions d'équations différentielles ordinaires de la forme y' = f(x, y) avec une valeur initiale y(x₀) = K en utilisant des incréments pondérés k₁, k₂, k₃ et k₄.

Équations différentielles – Calculateur de la méthode de Runge-Kutta & Tutoriel

À propos de la méthode de Runge-Kutta

Cet outil interactif permet d'explorer la méthode numérique de Runge-Kutta. Cette méthode est utilisée pour approximer les solutions d'équations différentielles et s'avère très puissante pour résoudre un large éventail de problèmes en sciences et en ingénierie.

Considérez l'équation différentielle :

\( y' = f(x, y) \) avec \( y(x_0) = K \) (valeur initiale)

Nous souhaitons approximer la solution sur un intervalle \( [a, b] \). Nous divisons cet intervalle en \( n \) sous-intervalles plus petits de taille \( h \). La méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 fournit une approximation de la manière suivante :

Soit \( y_0 = K \) (valeur de départ)
\( y_{i+1} = y_i + \frac{1}{6}[k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4] \) pour \( i = 0, 1, \dots, n-1 \)

où :
\( k_1 = h \cdot f(x_i, y_i) \)
\( k_2 = h \cdot f(x_i + \frac{h}{2}, y_i + \frac{k_1}{2}) \)
\( k_3 = h \cdot f(x_i + \frac{h}{2}, y_i + \frac{k_2}{2}) \)
\( k_4 = h \cdot f(x_i + h, y_i + k_3) \)

L'erreur de troncature locale est de l'ordre \( O(h^5) \) et diminue en principe à mesure que \( h \) diminue.

Équations utilisées dans cette démonstration

\( y' = x^2 \), \( y(0) = 1 \), solution exacte : \( y = \frac{x^3}{3} + 1 \)
\( y' = x^4 \), \( y(0) = 1 \), solution exacte : \( y = \frac{x^5}{5} + 1 \)
\( y' = e^x \), \( y(0) = 1 \), solution exacte : \( y = e^x \)
\( y' = \frac{1}{1+x} \), \( y(0) = 1 \), solution exacte : \( y = \ln(1+x) + 1 \)

Tutoriel

Toutes les équations différentielles de cette démonstration ont la même valeur initiale \( y(0) = 1 \) et possèdent des solutions exactes pour comparaison.

Sélectionnez la première équation différentielle \( y' = x^2 \). Au départ, \( h = 1{,}25 \) et \( n = 8 \).
Examinez la solution exacte (courbe bleue) et la solution approchée (points rouges) sur le graphique.
Réduisez \( h \) en augmentant \( n \) (ou diminuez directement \( h \)) et observez l'amélioration de l'approximation.
Sélectionnez les autres équations différentielles et analysez les résultats.
Comparez les valeurs exactes et approchées dans le tableau situé sous le graphique.

Calculateur de Runge-Kutta

Équation différentielle :

Pas (h) :

Nombre d'étapes (n) :

Résultats

Comparaison entre la solution exacte et l'approximation de Runge-Kutta :

Étape (i)	xᵢ	yᵢ approché	y(xᵢ) exact	Erreur	k₁	k₂	k₃	k₄

Ressources supplémentaires

Plus de références sur les équations différentielles :