Une équation différentielle est une équation qui implique une fonction inconnue et une ou plusieurs de ses dérivées. Si \( y = f(x) \), alors des expressions telles que \( y' \), \( y'' \) ou des dérivées d'ordre supérieur peuvent apparaître dans l'équation.
Ordre d'une équation différentielle
L'ordre d'une équation différentielle est défini comme l'ordre de la dérivée la plus élevée apparaissant dans l'équation.
Exemples : Détermination de l'ordre
-
\( y' = 3x \)
La dérivée la plus élevée est \( y' \). Par conséquent, il s'agit d'une équation différentielle du premier ordre. -
\( y'' + y' + y = 3x \)
La dérivée la plus élevée est \( y'' \). Par conséquent, il s'agit d'une équation différentielle du second ordre. -
\( -2y''' + y'' + y^4 = 3x \)
La dérivée la plus élevée est \( y''' \). Par conséquent, il s'agit d'une équation différentielle du troisième ordre.
Vérification d'une solution
Une fonction \( y = f(x) \) est appelée solution d'une équation différentielle si, après substitution de \( y \) et de ses dérivées dans l'équation, les deux membres deviennent égaux.
Exemple : Vérification d'une solution
Vérifiez que \( y = Ce^{4x} + e^{3x} \) est une solution de l'équation différentielle :
\[ y' - 4y = -e^{3x} \]Tout d'abord, calculez la dérivée :
\[ y' = 4Ce^{4x} + 3e^{3x} \]Substituez \( y \) et \( y' \) dans le membre de gauche :
\[ \begin{aligned} y' - 4y &= 4Ce^{4x} + 3e^{3x} - 4(Ce^{4x} + e^{3x}) \\ &= 4Ce^{4x} + 3e^{3x} - 4Ce^{4x} - 4e^{3x} \\ &= e^{3x}(3 - 4) \\ &= -e^{3x} \end{aligned} \]Cela correspond au membre de droite de l'équation différentielle. Par conséquent, \( y = Ce^{4x} + e^{3x} \) est bien une solution.
Résolution d'une équation différentielle simple
La plupart des applications des équations différentielles consistent à trouver la fonction inconnue.
Exemple : Recherche de la solution générale
Résoudre :
\[ y' = 2x \]Intégrez les deux côtés :
\[ \int y' \, dx = \int 2x \, dx \]Cela donne :
\[ y + C_1 = x^2 + C_2 \]En regroupant les constantes :
\[ y = x^2 + C \]où \( C = C_2 - C_1 \) est une constante arbitraire.