En analyse, une équation différentielle à variables séparables est une équation différentielle du premier ordre qui peut s'écrire sous la forme :
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{f(x)}{g(y)} \]ce qui peut être réécrit sous la forme :
\[ g(y) \, dy = f(x) \, dx \]Les variables peuvent être séparées de sorte que tous les termes impliquant \( y \) apparaissent d'un côté et tous les termes impliquant \( x \) apparaissent de l'autre. Ces équations peuvent généralement être résolues par intégration directe. Ce tutoriel explique la méthode et propose des exemples résolus suivis d'exercices d'entraînement.
Comment résoudre des équations différentielles à variables séparables
- Réécrivez l'équation de manière à ce que tous les termes en \( y \) soient d'un côté et tous les termes en \( x \) de l'autre.
- Intégrez les deux côtés par rapport à leurs variables respectives.
- Résolvez pour \( y \) si possible afin de trouver la solution générale.
Exemples avec solutions détaillées
Exemples résolus
Exemple 1
Résolvez l'équation différentielle :
\[ \frac{dy}{dx} = 3x^2 e^{y} \]Solution :
Séparons les variables :
\[ e^{-y} \, dy = 3x^2 \, dx \]Intégrons les deux côtés :
\[ \int e^{-y} \, dy = \int 3x^2 \, dx \] \[ -e^{-y} = x^3 + C \]Résolvons pour \( y \) :
\[ e^{-y} = -x^3 - C \] \[ -y = \ln(-x^3 - C) \] \[ y = -\ln(-x^3 - C) \]C'est la solution générale. Vous pouvez la vérifier en dérivant.
Exemple 2
Résolvez l'équation différentielle :
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\sin x}{y \cos y} \]Solution :
Séparons les variables :
\[ y \cos y \, dy = \sin x \, dx \]Intégrons :
\[ \int y \cos y \, dy = \int \sin x \, dx \]En utilisant l'intégration par parties sur le membre de gauche (\( u = y, dv = \cos y \, dy \)) :
\[ y \sin y + \cos y = -\cos x + C \]Cette solution est implicite ; il n'y a pas de formule explicite simple pour \( y(x) \).
Exercices d'entraînement
Exercices et réponses
Résolvez les équations différentielles à variables séparables suivantes :
- \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = -9x^2y^2\)
- \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = -2xe^{y}\)
Réponses :
- \(\displaystyle y = \frac{1}{3x^3 + C}\)
- \(\displaystyle y = -\ln(x^2 + C)\)