Tutoriel sur la façon de trouver les dérivées de fonctions en analyse (Dérivation) impliquant la valeur absolue.
Une vidéo sur Comment trouver la dérivée d'une fonction avec valeur absolue ? est incluse.
Dérivée d'une fonction avec valeur absolue
Soit \( f(x) = |u(x)| \). Notez que \( |u(x)| = \sqrt{u^2(x)} \).
Utilisez la règle de chaîne de dérivation pour trouver la dérivée de \( f = |u(x)| = \sqrt{u^2(x)} \) :
\[ \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} \] \[ \dfrac{df}{du} = \dfrac{1}{2} \dfrac{2u}{\sqrt{u^2}} = \dfrac{u}{|u|} \]Par conséquent :
Exemples avec solutions
Exemples résolus : Solutions étape par étape
Exemple 1
Trouvez la première dérivée \( f'(x) \), si \( f(x) \) est donnée par :
\[ f(x) = |x - 1| \]Solution de l'exemple 1 :
Soit \( u = x - 1 \) de sorte que \( f(x) \) puisse s'écrire \( f(x) = |u| = \sqrt{u^2} \).
Utilisons la règle de chaîne :
\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = \left(\dfrac{1}{2} \dfrac{2u}{\sqrt{u^2}}\right) \dfrac{du}{dx} = u \cdot \dfrac{u'}{|u|} = \dfrac{x-1}{|x-1|} \]Notez les points suivants :
- Si \( x > 1 \), alors \( |x - 1| = x - 1 \) et \( f'(x) = 1 \).
- Si \( x < 1 \), alors \( |x - 1| = -(x - 1) \) et \( f'(x) = -1 \).
- \( f'(x) \) n'existe pas en \( x = 1 \).
Les graphiques de \( f \) et de sa dérivée \( f' \) montrent qu'il n'est pas possible de tracer une tangente unique au graphique de \( f \) en \( x = 1 \), ce qui explique la non-existence de la dérivée en \( x = 1 \).
Exemple 2
Trouvez la première dérivée de \( f \) donnée par :
\[ f(x) = -x + 2 + |-x + 2| \]Solution de l'exemple 2 :
\( f(x) \) est composée de la somme de deux fonctions. Soit \( u = -x + 2 \), de sorte que :
\[ f'(x) = -1 + u' \dfrac{u}{|u|} = -1 + \dfrac{-1(-x+2)}{|-x+2|} \]Simplifions :
\[ f'(x) = -1 - \dfrac{-x+2}{|-x+2|} \]Notez les points suivants :
- Si \( x < 2 \), \( |-x + 2| = -x + 2 \) et \( f'(x) = -2 \).
- Si \( x > 2 \), \( |-x + 2| = -(-x + 2) \) et \( f'(x) = 0 \).
- \( f'(x) \) n'existe pas en \( x = 2 \).
Comme exercice, tracez le graphique de \( f \) et expliquez les résultats concernant \( f'(x) \) obtenus ci-dessus.
Exemple 3
Trouvez la première dérivée de \( f \) donnée par :
\[ f(x) = \dfrac{x+1}{|x^2 - 1|} \]Solution de l'exemple 3 :
En utilisant la règle du quotient et la formule de la dérivée de la valeur absolue :
\[ f'(x) = \dfrac{1 \cdot |x^2 - 1| - (x+1)(2x)\dfrac{x^2 - 1}{|x^2 - 1|}}{|x^2 - 1|^2} \]Séparons la fraction en deux termes et simplifions la fraction du côté gauche :
\[ f'(x) = \dfrac{1}{|x^2-1|} - \dfrac{2x(x+1)(x^2-1)}{(x^2-1)^2|x^2-1|} \]Simplifions la fraction du côté droit :
\[ f'(x) = \dfrac{1}{|x^2-1|} - \dfrac{2x}{(x-1)|x^2-1|} \]Mettons les deux fractions au même dénominateur :
\[ f'(x) = \dfrac{x-1}{(x-1)|x^2-1|} - \dfrac{2x}{(x-1)|x^2-1|} \]Additionnons les deux fractions et simplifions :
\[ f'(x) = -\dfrac{x+1}{(x-1)|x^2-1|} \]Exercices et réponses
Problèmes d'entraînement et solutions
Trouvez les premières dérivées de ces fonctions :
Indice : Dans certaines des questions ci-dessous, vous devrez peut-être appliquer la règle de chaîne plus d'une fois.
- \( f(x) = |2x - 5| \)
- \( g(x) = (x - 2)^2 + |x - 2| \)
- \( h(x) = \left|\dfrac{x+1}{x-3}\right| \)
- \( i(x) = |-2x^2 + 2x - 1| \)
- \( j(x) = e^{|2x-1|} \)
- \( k(x) = |\ln(-3x+1)| \)
- \( l(x) = \sin |2x| \)
Réponses aux exercices ci-dessus :
- \( f'(x) = 2 \dfrac{2x-5}{|2x-5|} \)
- \( g'(x) = 2(x - 2) + \dfrac{x-2}{|x-2|} \)
- \( h'(x) = -4 \left|\dfrac{x-3}{x+1}\right| \dfrac{x+1}{(x-3)^3} \)
- \( i'(x) = \dfrac{(-2x^2+2x-1)(-4x+2)}{|-2x^2+2x-1|} \)
- \( j'(x) = \dfrac{2e^{|2x-1|}(2x-1)}{|2x-1|} \)
- \( k'(x) = -\dfrac{3\ln(-3x+1)}{|\ln(-3x+1)|(-3x+1)} \)
- \( l'(x) = \dfrac{2x\cos(2|x|)}{|x|} \)