La règle de chaîne de dérivation en analyse

Exemple 1

Trouvez la dérivée \( f'(x) \) sachant que :

\[ f(x) = 4 \cos (5x - 2) \]

Solution de l'exemple 1 :

Soit \( u = 5x - 2 \) et \( f(u) = 4 \cos u \), d'où :

\[ \dfrac{du}{dx} = 5 \quad \text{et} \quad \dfrac{df}{du} = -4 \sin u \]

Utilisons maintenant la règle de chaîne :

\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = -4 \sin(u) \cdot 5 \]

Substituons de nouveau \( u = 5x - 2 \) dans l'expression :

\[ f'(x) = -20 \sin (5x - 2) \]

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Exemple 2

Trouvez la dérivée \( f'(x) \) sachant que :

\[ f(x) = (x^3 - 4x + 5)^4 \]

Solution de l'exemple 2 :

Soit \( u = x^3 - 4x + 5 \) et \( f(u) = u^4 \), ce qui donne :

\[ \dfrac{du}{dx} = 3x^2 - 4 \quad \text{et} \quad \dfrac{df}{du} = 4u^3 \]

Utilisation de la règle de chaîne :

\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = (4u^3)(3x^2 - 4) \]

Substituons de nouveau \( u = x^3 - 4x + 5 \) :

\[ f'(x) = 4(x^3 - 4x + 5)^3 (3x^2 - 4) \]

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Exemple 3

Trouvez \( f'(x) \) sachant que :

\[ f(x) = \sqrt{x^2 + 2x - 1} \]

Solution de l'exemple 3 :

Soit \( u = x^2 + 2x - 1 \) et \( f(u) = \sqrt{u} \), ce qui donne :

\[ \dfrac{du}{dx} = 2x + 2 \quad \text{et} \quad \dfrac{df}{du} = \dfrac{1}{2\sqrt{u}} \]

Utilisons la règle de chaîne :

\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{u}} (2x + 2) = \dfrac{2x + 2}{2\sqrt{x^2 + 2x - 1}} \]

Mettons 2 en facteur au numérateur et au dénominateur et simplifions :

\[ f'(x) = \dfrac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x - 1}} \]

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Exemple 4

Trouvez la première dérivée de \( f \) sachant que :

\[ f(x) = \sin^2 (2x + 3) \]

Solution de l'exemple 4 :

Soit \( u = \sin (2x + 3) \) et \( f(u) = u^2 \), ce qui donne :

\[ \dfrac{du}{dx} = 2 \cos(2x + 3) \quad \text{et} \quad \dfrac{df}{du} = 2u \]

L'utilisation de la règle de chaîne conduit à :

\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = 2u \cdot 2 \cos(2x + 3) = 4 \sin (2x + 3) \cos (2x + 3) \]

Utilisez l'identité trigonométrique \( \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \) pour simplifier :

\[ f'(x) = 2 \sin (4x + 6) \]

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Exemple 5

Trouvez la première dérivée de \( f \) sachant que :

\[ f(x) = \ln(x^2 + x) \]

Solution de l'exemple 5 :

Soit \( u = x^2 + x \) et \( f(u) = \ln u \), d'où :

\[ \dfrac{du}{dx} = 2x + 1 \quad \text{et} \quad \dfrac{df}{du} = \dfrac{1}{u} \]

Utilisez la règle de chaîne et substituez de nouveau \( u = x^2 + x \) :

\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{u} (2x + 1) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + x} \]

Utilisez la règle de chaîne pour trouver la première dérivée de chacune des fonctions :

1. \( f(x) = \cos (3x - 3) \)
2. \( l(x) = (3x^2 - 3x + 8)^4 \)
3. \( m(x) = \sin \left(\dfrac{1}{x-2}\right) \)
4. \( t(x) = \sqrt{3x^2 - 3x + 6} \)
5. \( r(x) = \sin^2 (4x + 20) \)

Réponses aux exercices ci-dessus

1. \( f'(x) = -3 \sin (3x - 3) \)
2. \( l'(x) = 12(2x - 1)(3x^2 - 3x + 8)^3 \) (Remarque : la mise en facteur donne \(12(2x-1)\) à partir de \(4(3x^2-3x+8)^3(6x-3)\))
3. \( m'(x) = -\dfrac{1}{(x - 2)^2} \cos \left(\dfrac{1}{x-2}\right) \)
4. \( t'(x) = \dfrac{6x - 3}{2\sqrt{3x^2 - 3x + 6}} \)
5. \( r'(x) = 8\sin(4x+20)\cos(4x+20) = 4\sin(8x+40) \)