Des exemples accompagnés de solutions détaillées sur la façon de trouver la dérivée (Dérivation) d'une fonction inverse sont présentés. De plus, d'autres exercices avec réponses sont inclus.
Formule de la dérivée de la fonction inverse (Théorème)
Soit \( f \) une fonction et \( f^{-1} \) son inverse. L'une des propriétés fondamentales des fonctions inverses est que :
\[ f(f^{-1}(x)) = x \]Soit \( y = f^{-1}(x) \), de sorte que :
\[ f(y) = x \]Dérivons les deux côtés en utilisant la règle de chaîne sur le côté gauche :
\[ \dfrac{df}{dy} \dfrac{dy}{dx} = 1 \]Isolons \( \dfrac{dy}{dx} \) :
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{\dfrac{df}{dy}} \]ce qui peut également s'écrire sous la forme :
où \( f' \) est la première dérivée de \( f \).
Exemples avec solutions détaillées
Exemple 1
Trouvez la dérivée de l'inverse de la fonction \( f \) donnée par :
\[ f(x) = \dfrac{x}{2} - 1 \]Solution de l'exemple 1 (Cliquez pour voir les méthodes)
Nous présentons deux méthodes pour répondre à la question ci-dessus. Dans la première méthode, nous calculons explicitement la fonction inverse puis sa dérivée. Dans la seconde méthode, nous utilisons la formule développée précédemment.
Méthode 1 : Fonction inverse explicite
La première méthode consiste à trouver l'inverse de la fonction \( f \) et à le dériver. Pour trouver l'inverse de \( f \), nous l'écrivons d'abord sous forme d'équation :
\[ y = \dfrac{x}{2} - 1 \]Isolons \( x \) :
\[ x = 2y + 2 \]Échangeons \( x \) et \( y \) pour obtenir l'inverse :
\[ y = f^{-1}(x) = 2x + 2 \]La dérivée de la fonction inverse est :
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{df^{-1}}{dx} = 2 \]Méthode 2 : Utilisation de la formule du théorème de la fonction inverse
Étant donné \( f(x) = \dfrac{x}{2} - 1 \), nous avons :
\[ f'(x) = \dfrac{1}{2} \]Substituons \( f' \) par \( \dfrac{1}{2} \) dans la formule \( \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))} \) :
\[ \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \]Remarque : La première méthode ne peut être utilisée que si l'on peut trouver explicitement la fonction inverse.
Exemple 2
Trouvez la dérivée \( \dfrac{dy}{dx} \) sachant que \( y = \arcsin x \).
Solution de l'exemple 2 (Cliquez pour voir la solution)
\( \arcsin x \) est la fonction inverse de \( \sin x \) et par conséquent :
\[ \sin(\arcsin(x)) = x \qquad (I) \]Étant donné \( y = \arcsin x \). Prenons le sinus des deux côtés :
\[ \sin y = \sin(\arcsin x) \]Simplifions en utilisant (I) :
\[ \sin y = x \]Dérivons les deux côtés par rapport à \( x \), en utilisant la règle de chaîne sur le côté gauche :
\[ \dfrac{dy}{dx} \cos y = 1 \]Isolons \( \dfrac{dy}{dx} \) :
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos y} \]Effectuons la substitution \( y = \arcsin x \) :
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos(\arcsin x)} \qquad (II) \]Simplifions \( \cos(\arcsin x) \) en utilisant l'identité trigonométrique \( \cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} \) :
\[ \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - \sin^2(\arcsin x)} \]Simplifions en utilisant la propriété des fonctions inverses \( \sin(\arcsin x) = x \) :
\[ \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2} \]Substituons de nouveau dans (II) pour obtenir la réponse finale :
\[ \boxed{\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{d(\arcsin x)}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}} \]Remarque : Le résultat ci-dessus aurait pu être obtenu en utilisant le théorème, mais nous avons montré ici comment trouver la dérivée de l'inverse sans avoir à mémoriser la formule.
Exercices
Problèmes d'entraînement et solutions
Trouvez la dérivée de l'inverse de chacune des fonctions données ci-dessous :
- \( f(x) = 3x - 4 \)
- \( g(x) = \arccos x \)
- \( h(x) = \arctan x \)
Réponses aux exercices ci-dessus
- \( (f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{3} \)
- \( (g^{-1})'(x) = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)
- \( (h^{-1})'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \)