Dérivées des fonctions trigonométriques

Formules, règles, exemples résolus étape par étape avec produits et quotients

Les formules des dérivées des fonctions trigonométriques sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x) et csc(x) en analyse sont présentées avec plusieurs exemples impliquant des produits, des sommes et des quotients de fonctions trigonométriques.

Formules pour les dérivées des fonctions trigonométriques

1. Dérivée de \( \sin x \) : \[ \dfrac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \]
2. Dérivée de \( \cos x \) : \[ \dfrac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \]
3. Dérivée de \( \tan x \) : \[ \dfrac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x \]
4. Dérivée de \( \cot x \) : \[ \dfrac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x \]
5. Dérivée de \( \sec x \) : \[ \dfrac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x \]
6. Dérivée de \( \csc x \) : \[ \dfrac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x \]

Exemples utilisant les dérivées des fonctions trigonométriques

Exemple 1

Trouvez la première dérivée de \( f(x) = x \sin x \)

Solution de l'exemple 1

Soit \( g(x) = x \) et \( h(x) = \sin x \). La fonction \( f \) peut être considérée comme le produit des fonctions \( g \) et \( h \) : \( f(x) = g(x)h(x) \). Par conséquent, nous utilisons la règle du produit, \( f'(x) = g(x)h'(x) + h(x)g'(x) \), pour dériver la fonction \( f \) comme suit :

\[ f'(x) = x \cos x + \sin x \cdot 1 = x \cos x + \sin x \]

Exemple 2

Trouvez la première dérivée de :

\[ f(x) = \tan x + \sec x \]
Solution de l'exemple 2

Soit \( g(x) = \tan x \) et \( h(x) = \sec x \). La fonction \( f \) peut être considérée comme la somme des fonctions \( g \) et \( h \) : \( f(x) = g(x) + h(x) \). Par conséquent, nous utilisons la règle de la somme, \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \), pour dériver la fonction \( f \) comme suit :

\[ f'(x) = \sec^2 x + \sec x \tan x = \sec x (\sec x + \tan x) \]

Exemple 3

Trouvez la première dérivée de :

\[ f(x) = \dfrac{\sin x}{1 + \cos x} \]
Solution de l'exemple 3

Soit \( g(x) = \sin x \) et \( h(x) = 1 + \cos x \). La fonction \( f \) peut être considérée comme le quotient des fonctions \( g \) et \( h \) : \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \). Par conséquent, nous utilisons la règle du quotient :

\[ f'(x) = \dfrac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} \]

Trouvons les dérivées individuelles :

\[ g'(x) = \cos x \] \[ h'(x) = -\sin x \]

Substituons dans la formule de la règle du quotient :

\[ f'(x) = \dfrac{(1 + \cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{(1 + \cos x)^2} \] \[ = \dfrac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2} \]

Utilisez l'identité trigonométrique \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \) pour simplifier :

\[ f'(x) = \dfrac{\cos x + 1}{(1 + \cos x)^2} = \dfrac{1}{\cos x + 1} \]

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