Définition de la première dérivée
Utilisez la définition de la dérivée pour dériver des fonctions. Ce tutoriel est mieux compris s'il est utilisé conjointement avec le quotient différentiel.
La dérivée \( f' \) de la fonction \( f \) est définie comme suit :
lorsque cette limite existe. Par conséquent, pour trouver la dérivée à partir de sa définition, nous devons calculer la limite du quotient différentiel lorsque \( h \) tend vers zéro.
Exemples avec solutions détaillées
Exemple 1
Utilisez la définition de la dérivée pour trouver la dérivée de la fonction \( f \) définie par :
\[ f(x) = mx + b \]où \( m \) et \( b \) sont des constantes.
Solution de l'exemple 1
Nous devons d'abord calculer le quotient différentiel :
\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{m(x+h) + b - (mx + b)}{h} \]Simplifions :
\[ = \dfrac{mh}{h} = m \]La dérivée \( f' \) est donnée par la limite de \( m \) (qui est une constante) lorsque \( h \to 0 \). Par conséquent :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} m = m \]La dérivée d'une fonction linéaire \( f(x) = mx + b \) est égale à la pente \( m \) de son graphique, qui est une droite.
Exemple 2
Utilisez la définition pour trouver la dérivée de :
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]Solution de l'exemple 2
Nous trouvons d'abord le quotient différentiel :
\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{a(x + h)^2 + b(x + h) + c - (ax^2 + bx + c)}{h} \]Développons les expressions du numérateur et regroupons les termes semblables :
\[ = \dfrac{ax^2 + 2axh + ah^2 + bx + bh + c - ax^2 - bx - c}{h} \]Simplifions :
\[ = \dfrac{2axh + bh + ah^2}{h} = 2ax + b + ah \]La dérivée de \( f(x) = ax^2 + bx + c \) est donnée par la limite du quotient différentiel. Par conséquent :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} (2ax + b + ah) = 2ax + b \]Exemple 3
Trouvez la dérivée, en utilisant la définition, de la fonction \( f \) donnée par :
\[ f(x) = \sin x \]Solution de l'exemple 3
Nous calculons d'abord le quotient différentiel :
\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{\sin(x + h) - \sin x}{h} \]Utilisez la formule trigonométrique pour transformer une différence \( \sin(x + h) - \sin x \) au numérateur en un produit :
\[ \dfrac{\sin(x + h) - \sin x}{h} = \dfrac{2 \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h} \]Réécrivons le quotient différentiel ci-dessus comme suit :
\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{\cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \]La dérivée est donnée par la limite du quotient différentiel. Par conséquent :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \]Utilisez les théorèmes sur la limite du produit de deux fonctions pour écrire :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \times \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \]Les limites dans le produit ci-dessus sont données par :
\[ \lim_{h \to 0} \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) = \cos\left(\frac{2x}{2}\right) = \cos x \]et
\[ \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(t)}{t} = 1 \]La dérivée de \( f(x) = \sin x \) est donc :
\[ f'(x) = \cos x \times 1 = \cos x \]Exemple 4
Utilisez la définition pour dériver :
\[ f(x) = \sqrt{x} \]Solution de l'exemple 4
Le quotient différentiel est donné par :
\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \]Multipliez le numérateur et le dénominateur par \( \sqrt{x+h} + \sqrt{x} \), développez, regroupez les termes semblables et simplifiez :
\[ = \dfrac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \times \dfrac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \dfrac{(\sqrt{x+h})^2 - (\sqrt{x})^2}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} \] \[ = \dfrac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \dfrac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \dfrac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \]La dérivée de \( f(x) = \sqrt{x} \) est donnée par la limite du quotient différentiel. Par conséquent :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \]Exemple 5
Utilisez la définition pour dériver :
\[ f(x) = \dfrac{1}{x} \]Solution de l'exemple 5
Le quotient différentiel est donné par :
\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{\dfrac{1}{x+h} - \dfrac{1}{x}}{h} \]Mettons les deux expressions rationnelles du numérateur au même dénominateur et réécrivons :
\[ = \dfrac{\dfrac{x}{x(x+h)} - \dfrac{x+h}{x(x+h)}}{h} = \dfrac{\dfrac{x - (x+h)}{x(x+h)}}{h} \] \[ = \dfrac{-h}{x(x+h)h} = \dfrac{-1}{x(x+h)} \]La dérivée de \( f(x) = \dfrac{1}{x} \) est donnée par la limite du quotient différentiel. Par conséquent :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{-1}{x(x+h)} = -\dfrac{1}{x^2} \]