Des preuves des formules des dérivées des fonctions trigonométriques inverses sont présentées, ainsi que plusieurs autres exemples impliquant des sommes, des produits et des quotients de fonctions. Une autre méthode pour trouver la dérivée des fonctions inverses est également incluse et peut être utilisée.
Preuves et formules pour les dérivées trigonométriques inverses
1. Dérivée de \( y = \arcsin(x) \)
Soit \( y = \arcsin(x) \), ce qui peut s'écrire \( x = \sin(y) \).
Dérivons les deux côtés par rapport à \( x \) :
\[ \dfrac{dx}{dx} = \dfrac{d(\sin(y))}{dx} \implies 1 = \cos(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos y} \]En utilisant l'identité trigonométrique \( \cos(y) = \sqrt{1 - \sin^2(y)} = \sqrt{1 - x^2} \), nous obtenons :
\[ \mathbf{\dfrac{d(\arcsin(x))}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}} \]2. Dérivée de \( \arccos(x) \)
Soit \( y = \arccos(x) \), ce qui peut s'écrire \( x = \cos(y) \).
En dérivant les deux côtés par rapport à \( x \) :
\[ 1 = -\sin(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{\sin(y)} \]Puisque \( \sin(y) = \sqrt{1 - \cos^2(y)} = \sqrt{1 - x^2} \), nous obtenons :
\[ \mathbf{\dfrac{d(\arccos(x))}{dx} = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}} \]3. Dérivée de \( \arctan(x) \)
Soit \( y = \arctan(x) \), ce qui peut s'écrire \( x = \tan(y) \).
Dérivons les deux côtés par rapport à \( x \) :
\[ 1 = \sec^2(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sec^2(y)} = \cos^2(y) \]En utilisant l'identité \( \cos^2(y) = \dfrac{1}{1 + \tan^2(y)} = \dfrac{1}{1 + x^2} \), nous obtenons :
\[ \mathbf{\dfrac{d(\arctan(x))}{dx} = \dfrac{1}{1 + x^2}} \]4. Dérivée de \( \text{arccot}(x) \)
Soit \( y = \text{arccot}(x) \), ce qui peut s'écrire \( x = \cot(y) \).
Dérivons les deux côtés par rapport à \( x \) :
\[ 1 = -\csc^2(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{\csc^2(y)} = -\sin^2(y) \]Puisque \( \sin^2(y) = \dfrac{1}{1 + \cot^2(y)} = \dfrac{1}{1 + x^2} \), nous obtenons :
\[ \mathbf{\dfrac{d(\text{arccot}(x))}{dx} = -\dfrac{1}{1 + x^2}} \]5. Dérivée de \( \text{arcsec}(x) \)
Soit \( y = \text{arcsec}(x) \), ce qui peut s'écrire \( x = \sec(y) \).
Dérivons les deux côtés par rapport à \( x \) :
\[ 1 = \sec(y) \tan(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sec(y) \tan(y)} \]En utilisant \( \tan y = \sqrt{\sec^2 y - 1} = \sqrt{x^2 - 1} \), nous obtenons :
\[ \mathbf{\dfrac{d(\text{arcsec}(x))}{dx} = \dfrac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}}} \]6. Dérivée de \( \text{arccsc}(x) \)
Soit \( y = \text{arccsc}(x) \), ce qui peut s'écrire \( x = \csc(y) \).
Dérivons les deux côtés par rapport à \( x \) :
\[ 1 = -\csc(y) \cot(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{\csc(y) \cot(y)} \]En utilisant \( \cot y = \sqrt{\csc^2 y - 1} = \sqrt{x^2 - 1} \), nous obtenons :
\[ \mathbf{\dfrac{d(\text{arccsc}(x))}{dx} = -\dfrac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}}} \]Exemples avec solutions
Exemple 1
Trouvez la première dérivée de :
\[ f(x) = x \arcsin x \]Solution de l'exemple 1
Soit \( h(x) = x \) et \( g(x) = \arcsin x \). La fonction \( f \) est considérée comme le produit des fonctions \( h \) et \( g \) : \( f(x) = h(x)g(x) \).
Utilisons la règle du produit de dérivation : \( f'(x) = h(x)g'(x) + g(x)h'(x) \) :
\[ f'(x) = x \left(\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right) + \arcsin x \cdot 1 \] \[ = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + \arcsin x \]Exemple 2
Trouvez la première dérivée de :
\[ f(x) = \arctan x + x^2 \]Solution de l'exemple 2
Soit \( g(x) = \arctan x \) et \( h(x) = x^2 \). La fonction \( f \) peut être considérée comme la somme des fonctions \( g \) et \( h \) : \( f(x) = g(x) + h(x) \). Par conséquent, nous utilisons la règle de la somme, \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \) :
\[ f'(x) = \dfrac{1}{1 + x^2} + 2x \] \[ = \dfrac{1 + 2x(1 + x^2)}{1 + x^2} = \dfrac{2x^3 + 2x + 1}{1 + x^2} \]Exemple 3
Trouvez la première dérivée de :
\[ f(x) = \arcsin (2x + 2) \]Solution de l'exemple 3
Soit \( u(x) = 2x + 2 \), de sorte que la fonction \( f \) soit la composition \( f(x) = \arcsin(u(x)) \). Utilisez la règle de chaîne, \( f'(x) = \dfrac{du}{dx} \cdot \dfrac{d(\arcsin(u))}{du} \) :
\[ f'(x) = 2 \left(\dfrac{1}{\sqrt{1 - u^2}}\right) \]Substituons \( u = 2x + 2 \) :
\[ = \dfrac{2}{\sqrt{1 - (2x + 2)^2}} \]