Qu'est-ce que le quotient différentiel en analyse ?
Nous commençons par la définition, puis nous calculons le quotient différentiel pour différentes fonctions à travers des exemples avec des explications détaillées.
Notez qu'un calculateur de quotient différentiel est inclus et peut être utilisé pour vérifier les résultats et s'entraîner davantage.
Définition du quotient différentiel
Soit \( f \) une fonction dont le graphique est présenté ci-dessous.
\( A \) et \( B \) sont des points sur le graphique de \( f \). Une droite passant par les deux points \( A(x, f(x)) \) et \( B(x+h, f(x+h)) \) est appelée une sécante. La pente \( m \) de la sécante peut être calculée comme suit :
\[ m = \dfrac{f(x + h) - f(x)}{(x + h) - x} \]Simplifions le dénominateur pour obtenir :
La pente \( m \) est appelée le quotient différentiel. C'est un concept très important en analyse où il est utilisé pour définir la dérivée de la fonction \( f \), qui définit à son tour la variation locale d'une fonction en mathématiques.
Exemples avec solutions
Dans les exemples ci-dessous, nous calculons et simplifions les quotients différentiels de différentes fonctions.
Exemple 1
Trouvez le quotient différentiel de la fonction \( f \) définie par :
\[ f(x) = 2x + 5 \]Solution de l'exemple 1
Nous devons d'abord calculer \( f(x + h) \) :
\[ f(x + h) = 2(x + h) + 5 \]Nous substituons maintenant \( f(x + h) \) et \( f(x) \) dans la définition du quotient différentiel :
\[ \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{2(x + h) + 5 - (2x + 5)}{h} \]Simplifions l'expression ci-dessus :
\[ = \dfrac{2h}{h} = 2 \]La réponse est 2, ce qui est également la pente de la droite définie par la fonction \( f \). Pourquoi ? Parce que les fonctions linéaires ont un taux de variation constant égal à leur pente !
Exemple 2
Trouvez le quotient différentiel de la fonction suivante :
\[ f(x) = 2x^2 + x - 2 \]Solution de l'exemple 2
Nous calculons d'abord \( f(x + h) \) :
\[ f(x + h) = 2(x + h)^2 + (x + h) - 2 \]Nous substituons maintenant \( f(x + h) \) et \( f(x) \) dans le quotient différentiel :
\[ \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{2(x + h)^2 + (x + h) - 2 - (2x^2 + x - 2)}{h} \]Développons les expressions du numérateur et regroupons les termes semblables :
\[ = \dfrac{2(x^2 + 2xh + h^2) + x + h - 2 - 2x^2 - x + 2}{h} \] \[ = \dfrac{2x^2 + 4xh + 2h^2 + x + h - 2 - 2x^2 - x + 2}{h} \] \[ = \dfrac{4xh + 2h^2 + h}{h} = 4x + 2h + 1 \]Exemple 3
Trouvez le quotient différentiel de la fonction \( f \) donnée par :
\[ f(x) = \sin x \]et écrivez le résultat sous forme de produit.
Solution de l'exemple 3
Nous calculons d'abord \( f(x + h) \) :
\[ f(x + h) = \sin(x + h) \]Nous substituons maintenant \( f(x + h) \) et \( f(x) \) dans le quotient différentiel :
\[ \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{\sin(x + h) - \sin x}{h} \]Nous utilisons la formule trigonométrique qui transforme une différence \( \sin(x + h) - \sin x \) en un produit :
\[ \sin(x + h) - \sin x = 2 \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right) \]Nous substituons l'expression ci-dessus dans le quotient différentiel pour obtenir :
\[ \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{2 \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h} = \dfrac{\cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \]