Des formules et des exemples, accompagnés de solutions détaillées, sur les dérivées des fonctions hyperboliques sont présentés. Pour les définitions et les graphiques des fonctions hyperboliques, consultez les Graphiques des fonctions hyperboliques.
Tableau des fonctions hyperboliques et de leurs dérivées
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \( f(x) = \sinh x \) | \( f'(x) = \cosh x \) |
| \( f(x) = \cosh x \) | \( f'(x) = \sinh x \) |
| \( f(x) = \tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x} \) | \( f'(x) = \operatorname{sech}^2 x \) |
| \( f(x) = \coth x = \dfrac{1}{\tanh x} = \dfrac{\cosh x}{\sinh x} \) | \( f'(x) = -\operatorname{csch}^2 x \) |
| \( f(x) = \operatorname{csch} x = \dfrac{1}{\sinh x} \) | \( f'(x) = -\operatorname{csch} x \coth x \) |
| \( f(x) = \operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x} \) | \( f'(x) = -\operatorname{sech} x \tanh x \) |
Exemples avec solutions
Exemple 1
Trouvez la dérivée de \( f(x) = \sinh(x^2) \)
Solution de l'exemple 1
Soit \( u = x^2 \) et \( y = \sinh u \). Utilisez la règle de chaîne pour trouver la dérivée de la fonction \( f \) donnée :
\[ f'(x) = \dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx} \]Puisque \( \dfrac{dy}{du} = \cosh u \) (voir la formule ci-dessus) et \( \dfrac{du}{dx} = 2x \) :
\[ f'(x) = 2x \cosh u \]Substituons de nouveau \( u = x^2 \) :
\[ f'(x) = 2x \cosh(x^2) \]Exemple 2
Trouvez la dérivée de \( f(x) = 2 \sinh x + 4 \cosh x \)
Solution de l'exemple 2
Soit \( g(x) = 2 \sinh x \) et \( h(x) = 4 \cosh x \). La fonction \( f \) est la somme des fonctions \( g \) et \( h \) : \( f(x) = g(x) + h(x) \). Utilisez la règle de la somme, \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \) :
\[ f'(x) = 2 \cosh x + 4 \sinh x \]Exemple 3
Trouvez la dérivée de \( f(x) = \dfrac{\cosh x}{\sinh(x^2)} \)
Solution de l'exemple 3
Soit \( g(x) = \cosh x \) et \( h(x) = \sinh(x^2) \). La fonction \( f \) est le quotient des fonctions \( g \) et \( h \) : \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \). Par conséquent, nous utilisons la règle du quotient :
\[ f'(x) = \dfrac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} \]Trouvons les dérivées individuelles :
\[ g'(x) = \sinh x \] \[ h'(x) = 2x \cosh(x^2) \quad \text{(voir l'exemple 1 ci-dessus)} \]Substituons dans la formule de la règle du quotient :
\[ f'(x) = \dfrac{(\sinh(x^2))(\sinh x) - (\cosh x)(2x \cosh(x^2))}{(\sinh(x^2))^2} \]Exemple 4
Trouvez la dérivée de \( f(x) = (\sinh x)^2 \)
Solution de l'exemple 4
Soit \( u = \sinh x \) et \( y = u^2 \). Utilisez la règle de chaîne :
\[ f'(x) = \dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx} \]Puisque \( \dfrac{dy}{du} = 2u \) et \( \dfrac{du}{dx} = \cosh x \) :
\[ f'(x) = 2u \cosh x \]Remettons \( u = \sinh x \) :
\[ f'(x) = 2 \sinh x \cosh x \]Exercices
Trouvez la dérivée de chaque fonction :
- \( f(x) = \sinh(x^3) \)
- \( g(x) = -\sinh x + 4 \cosh(x + 2) \)
- \( h(x) = \dfrac{\cosh(x^2)}{\sinh x} \)
- \( j(x) = -(\cosh x)^2 \)
Solutions des exercices ci-dessus
- \( f'(x) = (3x^2) \cosh(x^3) \)
- \( g'(x) = -\cosh x + 4 \sinh(x + 2) \)
- \( h'(x) = \dfrac{(2x \sinh(x^2))(\sinh x) - (\cosh(x^2))(\cosh x)}{(\sinh x)^2} \)
- \( j'(x) = -2(\cosh x)(\sinh x) \)