Des exemples de fonctions logarithmiques et de leurs dérivées en analyse sont présentés. Plusieurs exemples, accompagnés de solutions détaillées et impliquant des produits, des sommes et des quotients de fonctions logarithmiques, sont examinés.
Première dérivée d'une fonction logarithmique de base quelconque
La première dérivée de \( f(x) = \log_b x \) est donnée par :
Remarque : si \( f(x) = \ln x \), alors \( f'(x) = \dfrac{1}{x} \).
Exemples avec solutions
Exemple 1
Trouvez la dérivée de \( f(x) = \log_3 x \)
Solution de l'exemple 1
Appliquez la formule ci-dessus pour obtenir :
\[ f'(x) = \dfrac{1}{x \ln 3} \]Exemple 2
Trouvez la dérivée de \( f(x) = \ln x + 6x^2 \)
Solution de l'exemple 2
Soit \( g(x) = \ln x \) et \( h(x) = 6x^2 \). La fonction \( f \) est la somme des fonctions \( g \) et \( h \) : \( f(x) = g(x) + h(x) \). Utilisez la règle de la somme, \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \), pour trouver la dérivée de la fonction \( f \) :
\[ f'(x) = \dfrac{1}{x} + 12x \]Exemple 3
Trouvez la dérivée de \( f(x) = \dfrac{\log_3 x}{1 - x} \)
Solution de l'exemple 3
Soit \( g(x) = \log_3 x \) et \( h(x) = 1 - x \). La fonction \( f \) est le quotient des fonctions \( g \) et \( h \) : \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \). Par conséquent, nous utilisons la règle du quotient :
\[ f'(x) = \dfrac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} \]Trouvons les dérivées individuelles :
\[ g'(x) = \dfrac{1}{x \ln 3} \] \[ h'(x) = -1 \]Substituons dans la formule de la règle du quotient :
\[ f'(x) = \dfrac{(1 - x)\left(\dfrac{1}{x \ln 3}\right) - (\log_3 x)(-1)}{(1 - x)^2} \]Exemple 4
Trouvez la dérivée de \( f(x) = \ln(-4x + 1) \)
Solution de l'exemple 4
Soit \( u = -4x + 1 \) et \( y = \ln u \). Utilisez la règle de chaîne pour trouver la dérivée de la fonction \( f \) :
\[ f'(x) = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \]Puisque \( \dfrac{dy}{du} = \dfrac{1}{u} \) et \( \dfrac{du}{dx} = -4 \) :
\[ f'(x) = \dfrac{1}{u}(-4) = \dfrac{-4}{u} \]Substituons de nouveau \( u = -4x + 1 \) :
\[ f'(x) = \dfrac{-4}{-4x + 1} \]Exercices
Trouvez la dérivée de chaque fonction :
- \( f(x) = \ln(x^2) \)
- \( g(x) = \ln x - x^7 \)
- \( h(x) = \dfrac{\ln x}{2x - 3} \)
- \( j(x) = \ln(x + 3) \ln(x - 1) \)
Solutions des exercices ci-dessus
- \( f'(x) = \dfrac{2}{x} \)
- \( g'(x) = \dfrac{1}{x} - 7x^6 \)
- \( h'(x) = \dfrac{2x - 3 - 2x \ln x}{x(2x - 3)^2} \)
- \( j'(x) = \dfrac{\ln(x + 3)}{x - 1} + \dfrac{\ln(x - 1)}{x + 3} \)