Calculer l'aire en coordonnées polaires

Notez que le cercle est balayé par les rayons \( \theta = \theta_1 \) et \( \theta = \theta_2 \), et nous devons trouver \( \theta_1 \) et \( \theta_2 \).

Le cercle commence à l'origine (\( r(\theta) = 0 \)) et se termine à l'origine (\( r(\theta) = 0 \)). Par conséquent, les angles \( \theta_1 \) et \( \theta_2 \) sont trouvés en résolvant \( r(\theta) = 0 \) :

\[ \sin(\theta) = 0 \]

Ce qui donne les solutions :

\[ \theta_1 = 0 \quad \text{et} \quad \theta_2 = \pi \]

L'aire \( A \) du cercle est donnée par :

\[ A = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (2 \sin \theta)^2 \, d\theta = 2 \int_{0}^{\pi} (\sin \theta)^2 \, d\theta \]

Utilisons l'identité trigonométrique \( \sin^2 \theta = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2\theta)) \) :

\[ A = \int_{0}^{\pi} (1 - \cos(2\theta)) \, d\theta = \left[ \theta - \dfrac{1}{2}\sin(2\theta) \right]_0^{\pi} = \pi \]

L'aire du cercle donné dont le rayon est \( 1 \) correspond à la formule standard \( \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi \).

En raison de la symétrie du graphique, nous trouvons l'aire délimitée par une boucle et multiplions le résultat par 3.

La boucle de droite commence et se termine à l'origine (\( r(\theta) = 0 \)). En résolvant \( \sin(3\theta) = 0 \) :

\[ 3\theta = n\pi \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots) \]

Pour la première boucle dans le premier quadrant :

\[ \theta_1 = 0 \quad \text{et} \quad \theta_2 = \dfrac{\pi}{3} \]

L'aire d'une seule boucle est :

\[ A = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\sin 3\theta)^2 \, d\theta = \dfrac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1 - \cos(6\theta)) \, d\theta = \dfrac{1}{4} \left[ \theta - \dfrac{1}{6}\sin(6\theta) \right]_0^{\frac{\pi}{3}} = \dfrac{\pi}{12} \]

L'aire totale des trois boucles est :

\[ 3A = \dfrac{\pi}{4} \]

Par symétrie, nous trouvons l'aire de la surface délimitée par les deux courbes sur la droite et nous la multiplions par 2.

L'aire est constituée de deux parties, \( A_1 \) et \( A_2 \) :

\[ A_1 = \dfrac{1}{2} \int_{\theta_1}^{\theta_2} r_1^2(\theta) \, d\theta, \quad A_2 = \dfrac{1}{2} \int_{\theta_2}^{\theta_3} r_2^2(\theta) \, d\theta \]

Limites d'intégration :

• \( \theta_1 = 0 \) (où \( r_1(\theta) = 0 \))
• \( \theta_3 = \dfrac{\pi}{2} \) (où \( r_2(\theta) = 0 \))
• \( \theta_2 \) est le point d'intersection : \( \sin(\theta) = 0.5(1 + \cos(2\theta)) \). En utilisant \( \cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta \), nous obtenons \( \sin^2\theta + \sin\theta - 1 = 0 \), ce qui donne \( \sin\theta = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \approx 0.61803 \), soit \( \theta_2 = \arcsin\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right) \approx 0.66624 \).

Évaluation des intégrales :

\[ A_1 = \dfrac{1}{4} \int_{0}^{0.66624} (1 - \cos(2\theta)) \, d\theta \approx 0.0450915 \] \[ A_2 = \dfrac{0.5^2}{2} \int_{0.66624}^{\frac{\pi}{2}} \left(1 + \dfrac{1}{2}(1 + \cos(4\theta)) + 2\cos(2\theta)\right) d\theta \approx 0.0409645 \]

L'aire commune totale \( A = 2(A_1 + A_2) \approx 2(0.0450915 + 0.0409645) = 0.172112 \).