Des exemples, des solutions détaillées et des exercices avec réponses sur la manière d'utiliser les techniques de complétion du carré et de substitution pour évaluer des intégrales impliquant des expressions du second degré. Des exercices avec leurs réponses sont également inclus.
Révision des formules de dérivées et d'intégrales
NOTE : Dans ce qui suit, \(c\) est la constante d'intégration.
Nous examinons d'abord quelques formules de dérivée pour des fonctions inverses connues impliquant des expressions du second degré :
\[\begin{aligned} & \dfrac{d}{dx} \arcsin x = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \\ & \dfrac{d}{dx} \arctan x = \dfrac{1}{1 + x^2} \\ & \dfrac{d}{dx} \operatorname{arcsinh} x = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \\ & \dfrac{d}{dx} \operatorname{arccosh} x = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \end{aligned}\]Nous utilisons maintenant les formules de dérivation ci-dessus pour écrire les formules d'intégrale correspondantes :
Exemples avec solutions détaillées
Exemple 1
Évaluez l'intégrale :
\[\int \dfrac{1}{\sqrt{-x^2 - x}} \, dx\]Solution de l'exemple 1
Nous complétons d'abord le carré pour l'expression \(-x^2 - x\) :
\[\begin{aligned} & -x^2 - x \\ & = -(x^2 + x) \\ & = -\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} \right) \\ & = \dfrac{1}{4} - \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 \end{aligned}\]Substituons ce qui précède dans l'intégrale donnée :
\[\int \dfrac{1}{\sqrt{-x^2 - x}} \, dx = \int \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{4} - \left(x + \frac{1}{2}\right)^2}} \, dx\]Mettons \(\dfrac{1}{4}\) en facteur sous la racine carrée :
\[= \int \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(1 - \left(2\left(x + \frac{1}{2}\right)\right)^2\right)}} \, dx = \int \dfrac{2}{\sqrt{1 - (2x + 1)^2}} \, dx\]Utilisons la méthode de substitution : posons \(z = 2x + 1\), de sorte que \(dz = 2 \, dx\) (ou \(dx = \dfrac{dz}{2}\)) :
\[= \int \dfrac{1}{\sqrt{1 - z^2}} \, dz = \arcsin(z) + c\]Revenons à la variable \(z = 2x + 1\) pour obtenir la réponse finale :
\[\int \dfrac{1}{\sqrt{-x^2 - x}} \, dx = \arcsin(2x + 1) + c\]Exemple 2
Évaluez l'intégrale :
\[\int \dfrac{2}{3x^2 + 12x + 24} \, dx\]Solution de l'exemple 2
Nous complétons d'abord le carré pour l'expression \(3x^2 + 12x + 24\) :
\[\begin{aligned} & = 3(x^2 + 4x) + 24 \\ & = 3\left((x + 2)^2 - 4\right) + 24 \\ & = 3(x + 2)^2 - 12 + 24 = 3(x + 2)^2 + 12 \\ & = 12\left(\dfrac{1}{4}(x + 2)^2 + 1\right) = 12\left(\left(\dfrac{x}{2} + 1\right)^2 + 1\right) \end{aligned}\]Substituons dans l'intégrale et utilisons la substitution (\(z = \dfrac{x}{2} + 1\), \(dx = 2 \, dz\)) :
\[\int \dfrac{2}{3x^2 + 12x + 24} \, dx = \int \dfrac{2}{12\left(\left(\dfrac{x}{2} + 1\right)^2 + 1\right)} \, dx = \dfrac{1}{6} \int \dfrac{1}{z^2 + 1} (2 \, dz) = \dfrac{1}{3} \int \dfrac{1}{z^2 + 1} \, dz\]Évaluons et revenons à la variable initiale :
\[= \dfrac{1}{3} \arctan(z) + c = \dfrac{1}{3} \arctan\left(\dfrac{x}{2} + 1\right) + c\]Exemple 3
Évaluez l'intégrale :
\[\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 12x + 40}} \, dx\]Solution de l'exemple 3
Complétons le carré pour \(x^2 + 12x + 40\) :
\[x^2 + 12x + 40 = (x + 6)^2 - 36 + 40 = (x + 6)^2 + 4\]Réécrivons l'intégrale :
\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{(x + 6)^2 + 4}} \, dx = \int \dfrac{1