Intégrale de la valeur absolue de \( x \) : \( \int |x| \, dx \)

Dérivation et évaluation

Évaluez l'intégrale indéfinie :

\[ \int |x| \, dx \]

Réécrivons l'intégrande sous la forme d'un produit :

\[ \int |x| \, dx = \int 1 \cdot |x| \, dx \quad (I) \]

Rappelons que \( |x| = \sqrt{x^2} \) et que sa dérivée par rapport à \( x \) est donnée par :

\[ \dfrac{d(|x|)}{dx} = \dfrac{d(\sqrt{x^2})}{dx} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2}} = \dfrac{x}{|x|} \quad (II) \]

Appliquons la formule d'intégration par parties : \( \displaystyle \int u' v \, dx = u v - \int u v' \, dx \) à l'intégrale du côté droit de (I).

Posons \( u' = 1 \) et \( v = |x| \), ce qui donne \( u = x \) et \( v' = \dfrac{x}{|x|} \) (d'après l'étape II).

Substituons ces éléments dans la formule d'intégration par parties :

\[ = x |x| - \int x \cdot \dfrac{x}{|x|} \, dx \quad (III) \]

Simplifions le terme de l'intégrande \( x \cdot \dfrac{x}{|x|} \) :

\[ x \cdot \dfrac{x}{|x|} = \dfrac{x^2}{|x|} = \dfrac{|x|^2}{|x|} = |x| \]

Substituons cet intégrande simplifié dans l'équation (III) :

\[ \int |x| \, dx = x |x| - \int |x| \, dx \]

Ajoutons \( \displaystyle \int |x| \, dx \) aux deux côtés :

\[ \int |x| \, dx + \int |x| \, dx = x |x| \] \[ 2 \int |x| \, dx = x |x| \]

En divisant par 2 et en ajoutant la constante d'intégration \( C \), la réponse finale est donnée par :