Dérivation et évaluation
Les étapes pour calculer l'intégrale de la fonction logarithme népérien :
\[ \int \ln x \, dx \]sont présentées ci-dessous.
Réécrivons d'abord l'intégrale donnée sous la forme :
\[ \int \ln x \, dx = \int 1 \cdot \ln x \, dx \]Posons \( u' = 1 \) et \( v = \ln x \), dont les dérivées premières sont données par \( u = x \) et \( v' = \dfrac{1}{x} \).
Notre intégrale est de la forme :
\[ \int \ln x \, dx = \int u' \cdot v \, dx \]Utilisez la formule d'intégration par parties \( \int u' v \, dx = u v - \int u v' \, dx \) pour écrire :
\[ \int \ln x \, dx = u v - \int u \cdot v' \, dx \]Substituons \( u, v, \) et \( v' \) pour obtenir :
\[ = x \ln x - \int x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \]Simplifions le terme de droite :
\[ = x \ln x - \int 1 \, dx \]Évaluons l'intégrale :
\[ = x \ln x - x + c \]où \( c \) est la constante d'intégration.
Formule d'intégration pour \( \ln x \) :
\[ \int \ln x \, dx = x \ln x - x + c \]