Les étapes pour trouver l'intégrale d'une fonction logarithmique de base quelconque sont présentées ci-dessous.
Utilisation de la formule de changement de base
Posons \( y = \log_a x \).
Utilisez la formule de changement de base pour réécrire \( y = \log_a x \) à l'aide du logarithme népérien (\( \ln \)) :
\[ y = \log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a} \]Nous évaluons maintenant l'intégrale :
\[ \int \log_a x \, dx = \int \left(\dfrac{\ln x}{\ln a}\right) dx \]Puisque \( \ln a \) est une constante, nous pouvons la sortir de l'intégrale :
\[ \int \log_a x \, dx = \dfrac{1}{\ln a} \int \ln x \, dx \qquad (I) \]L'intégrale de \( \ln x \) est donnée par :
\[ \int \ln x \, dx = x \ln x - x + c \]Substituons ceci dans l'équation (I) pour obtenir :
Formule d'intégration pour \( \log_a x \) :
\[ \int \log_a x \, dx = \dfrac{1}{\ln a} (x \ln x - x) + c \]