Évaluez les intégrales impliquant des fonctions logarithmiques naturelles : Un tutoriel, avec des exemples et des solutions détaillées. Des exercices avec réponses sont également présentés à la fin du tutoriel. Vous pouvez utiliser la table des intégrales et les propriétés des intégrales sur ce site. Dans ce qui suit, \( C \) est une constante d'intégration et peut prendre n'importe quelle valeur constante.
Exemples avec solutions
Cliquez sur chaque exemple pour afficher sa solution détaillée.
Exemple 1 : Évaluez \( \displaystyle \int \ln(x) \, dx \)
Solution de l'exemple 1 :
Posons \( U = \ln(x) \) et \( V' = 1 \) et utilisons l'intégration par parties. Ainsi, \( U' = \dfrac{1}{x} \) et \( V = x \) :
\[ \begin{aligned} \int \ln(x) \, dx &= \int U V' \, dx \\ &= U V - \int U' V \, dx \\ &= x \ln(x) - \int 1 \, dx \\ &= x \ln(x) - x + C \end{aligned} \]Vérification : Dérivez \( x \ln(x) - x + C \) pour constater que vous obtenez \( \ln(x) \), qui est l'intégrande de l'intégrale donnée.
Exemple 2 : Évaluez \( \displaystyle \int \ln(2x + 1) \, dx \)
Solution de l'exemple 2 :
Substitution : Posons \( u = 2x + 1 \), ce qui mène à \( \dfrac{du}{dx} = 2 \) ou \( du = 2 \, dx \) ou \( dx = \dfrac{du}{2} \). L'intégrale devient :
\[ \int \ln(2x + 1) \, dx = \dfrac{1}{2} \int \ln(u) \, du \]Nous utilisons maintenant les formules d'intégrales pour la fonction \( \ln(u) \) (trouvées dans l'exemple 1) :
\[ \int \ln(2x + 1) \, dx = \dfrac{1}{2} \int \ln(u) \, du = \dfrac{1}{2} [u \ln(u) - u] + C \]Remplaçons \( u \) par \( 2x + 1 \) :
\[ \int \ln(2x + 1) \, dx = \dfrac{1}{2}(2x + 1) \ln(2x + 1) - \dfrac{1}{2}(2x + 1) + C \] \[ = \dfrac{1}{2}(2x + 1) \ln(2x + 1) - x - \dfrac{1}{2} + C \] \[ = \dfrac{1}{2}(2x + 1) \ln(2x + 1) - x + K \]où \( K = C - \dfrac{1}{2} \) est une constante.
Vérification : Dérivez le résultat pour vérifier qu'il correspond à l'intégrande.
Exemple 3 : Évaluez \( \displaystyle \int x \ln x \, dx \)
Solution de l'exemple 3 :
Posons \( f(x) = \ln x \) et \( g'(x) = x \), ce qui donne \( f'(x) = \dfrac{1}{x} \) et \( g(x) = \dfrac{x^2}{2} \).
En utilisant l'intégration par parties \( \int f(x)g'(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \, dx \), nous obtenons :
\[ \begin{aligned} \int x \ln x \, dx &= \left[ \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x^2}{2} \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \right] \\ &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x}{2} \, dx \\ &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \dfrac{x^2}{4} + C \end{aligned} \]Pratique : Dérivez \( \dfrac{x^2}{2} \ln x - \dfrac{x^2}{4} + C \) pour obtenir l'intégrande \( x \ln x \).
Exemple 4 : Évaluez \( \displaystyle \int \dfrac{\ln(x)}{x} \, dx \)
Solution de l'exemple 4 :
Posons \( u = \ln x \) de sorte que \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x} \) ou \( du = \dfrac{1}{x} \, dx \). Après substitution, l'intégrale peut s'écrire :
\[ \int \dfrac{\ln(x)}{x} \, dx = \int u \, du \]Intégrez pour obtenir :
\[ \dfrac{u^2}{2} + C \]Remplacez \( u \) par \( \ln x \) :
\[ = \dfrac{(\ln x)^2}{2} + C \]À titre d'exercice, vérifiez la réponse finale par dérivation.
Exercices
Évaluez les intégrales suivantes :
- \( \displaystyle \int x^3 \ln x \, dx \)
- \( \displaystyle \int (x - \ln x) \, dx \)
Réponses aux exercices ci-dessus
- \( \dfrac{x^4 \ln x}{4} - \dfrac{x^4}{16} + C \)
- \( \dfrac{x^2}{2} - x \ln x + x + C \)