Un tutoriel, avec des exemples et des solutions détaillées, sur l'utilisation des règles des intégrales indéfinies en analyse est présenté. Un ensemble de questions avec solutions est également inclus.
Dans ce qui suit, \( C \) est une constante d'intégration et peut prendre n'importe quelle valeur.
1 - Intégrale d'une fonction puissance : \( f(x) = x^n \)
\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c \]Exemple : Évaluez l'intégrale \( \displaystyle \int x^5 \, dx \)
Solution :
\[ \int x^5 \, dx = \dfrac{x^{5 + 1}}{5 + 1} + c = \dfrac{x^6}{6} + c \]2 - Intégrale d'une fonction \( f \) multipliée par une constante \( k \) : \( k f(x) \)
\[ \int k f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx \]Exemple : Évaluez l'intégrale \( \displaystyle \int 5 \sin(x) \, dx \)
Solution :
Selon la règle ci-dessus :
\[ \int 5 \sin(x) \, dx = 5 \int \sin(x) \, dx \]\( \displaystyle \int \sin(x) \, dx \) est donnée par la formule 2.1 dans la table de formules d'intégrales, d'où :
\[ \int 5 \sin(x) \, dx = -5 \cos x + C \]3 - Intégrale de la somme de fonctions
\[ \int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx \]Exemple : Évaluez l'intégrale \( \displaystyle \int (x + e^x) \, dx \)
Solution :
Selon la propriété ci-dessus :
\[ \int (x + e^x) \, dx = \int x \, dx + \int e^x \, dx \]\( \int x \, dx \) est donnée par 1.3 et \( \displaystyle \int e^x \, dx \) par 4.1 dans la table de formules d'intégrales, d'où :
\[ \int (x + e^x) \, dx = \dfrac{x^2}{2} + e^x + c \]4 - Intégrale de la différence de fonctions
\[ \int (f(x) - g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx - \int g(x) \, dx \]Exemple : Évaluez l'intégrale \( \displaystyle \int \left(2 - \frac{1}{x}\right) \, dx \)
Solution :
Selon la propriété ci-dessus :
\[ \int \left(2 - \frac{1}{x}\right) dx = \int 2 \, dx - \int \frac{1}{x} \, dx \]\( \int 2 \, dx \) est donnée par 1.2 et \( \int \frac{1}{x} \, dx \) par 1.4 dans la table de formules d'intégrales, d'où :
\[ \int \left(2 - \frac{1}{x}\right) dx = 2x - \ln|x| + c \]5 - Intégration par substitution
\[ \int f(u) \dfrac{du}{dx} \, dx = \int f(u) \, du \]Exemple : Évaluez l'intégrale \( \displaystyle \int (x^2 - 1)^{20} \cdot 2x \, dx \)
Solution :
Posons \( u = x^2 - 1 \), d'où \( \dfrac{du}{dx} = 2x \) et l'intégrale donnée peut s'écrire :
\[ \int (x^2 - 1)^{20} \cdot 2x \, dx = \int u^{20} \dfrac{du}{dx} \, dx = \int u^{20} \, du \]Ce qui s'évalue à :
\[ = \dfrac{u^{21}}{21} + c \]Remplacez \( u \) par \( x^2 - 1 \) :
\[ = \dfrac{(x^2 - 1)^{21}}{21} + c \]6 - Intégration par parties
\[ \int f(x) g'(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x) g(x) \, dx \]Exemple : Évaluez l'intégrale \( \displaystyle \int x \cos x \, dx \)
Solution :
Posons \( f(x) = x \) et \( g'(x) = \cos x \), ce qui donne \( f'(x) = 1 \) et \( g(x) = \sin x \).
D'après la formule d'intégration par parties ci-dessus :
\[ \int x \cos x \, dx = x \sin x - \int 1 \cdot \sin x \, dx \] \[ = x \sin x + \cos x + c \]Plus de questions avec solutions
Utilisez la table de formules d'intégrales et les règles ci-dessus pour évaluer les intégrales suivantes. [Notez que vous devrez peut-être utiliser plus d'une des règles ci-dessus pour une même intégrale].
Cliquez sur chaque question pour afficher sa solution détaillée étape par étape.
Question 1 : Évaluez \( \displaystyle \int \frac{1}{2} \ln(x) \, dx \)
Solution :
Sortez la constante \( \frac{1}{2} \) de l'intégrale :
\[ \int \frac{1}{2} \ln(x) \, dx = \frac{1}{2} \int \ln(x) \, dx \]Utilisez l'intégration par parties. Posons \( u = \ln(x) \) et \( dv = dx \), alors \( du = \frac{1}{x} \, dx \) et \( v = x \) :
\[ \int u \, dv = u v - \int v \, du \] \[ \int \ln(x) \, dx = x\ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x\ln(x) - \int 1 \, dx = x\ln(x) - x + C \]Par conséquent :
\[ \int \frac{1}{2} \ln(x) \, dx = \frac{1}{2}\bigl(x\ln(x) - x\big) + C \]Question 2 : Évaluez \( \displaystyle \int (\sin x + x^5) \, dx \)
Solution :
Utilisez la règle 3 (intégrale d'une somme) pour obtenir :
\[ \int (\sin x + x^5) \, dx = \int \sin x \, dx + \int x^5 \, dx \]Nous utilisons la formule 2.1 dans la table de formules d'intégrales pour évaluer \( \int \sin x \, dx \) et la règle 1 ci-dessus pour évaluer \( \int x^5 \, dx \). D'où :
\[ \int (\sin x + x^5) \, dx = -\cos x + \frac{x^6}{6} + c \]Question 3 : Évaluez \( \displaystyle \int (\sinh x - 3) \, dx \)
Solution :
Utilisez la règle 4 (intégrale d'une différence) pour obtenir :
\[ \int (\sinh x - 3) \, dx = \int \sinh x \, dx - \int 3 \, dx \]Nous utilisons la formule 7.1 dans la table de formules d'intégrales pour évaluer \( \int \sinh x \, dx \) et l'intégrale de la constante \( 3 \) pour obtenir :
\[ \int (\sinh x - 3) \, dx = \cosh x - 3x + c \]Question 4 : Évaluez \( \displaystyle \int x \sin x \, dx \)
Solution :
L'intégrande est le produit de deux fonctions \( x \) et \( \sin x \). Nous utilisons l'intégration par parties (règle 6) :
Posons \( f(x) = x \) et \( g'(x) = \sin x \), d'où \( f'(x) = 1 \) et \( g(x) = -\cos x \).
Alors :
\[ \int x \sin x \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \, dx = -x \cos x - \int 1 \cdot (-\cos x) \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx \]En utilisant la formule 2.2 de la table de formules d'intégrales pour évaluer \( \int \cos x \, dx \), nous obtenons :
\[ \int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + c \]Question 5 : Évaluez \( \displaystyle \int \sin^{10}(x) \cos(x) \, dx \)
Solution :
Posons \( u = \sin x \), par conséquent \( du = \cos x \, dx \). L'intégrale donnée peut donc s'écrire :
\[ \int \sin^{10} x \cos x \, dx = \int u^{10} \, du \]Utilisez la règle 1 pour écrire :
\[ \int u^{10} \, du = \frac{u^{11}}{11} + c \]Substituez \( u = \sin x \) pour obtenir :
\[ \int \sin^{10} x \cos x \, dx = \frac{1}{11} \sin^{11} x + c \]