Un tutoriel pour trouver des intégrales impliquant des puissances paires de \( \sin(x) \), à l'aide de formules de réduction de puissance, est présenté. Des exercices avec réponses se trouvent au bas de la page. L'intégration de puissances impaires du sinus est beaucoup plus simple.
Dans ce qui suit, \( C \) représente la constante d'intégration.
Rappel des formules de réduction de puissance
Pour \( n \) un entier positif, nous avons les formules trigonométriques suivantes qui peuvent être utilisées pour réduire la puissance de \( \sin(x) \) :
- (a) \( \sin^2(x) = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \)
- (b) \( \sin^3(x) = \dfrac{1}{4}(3\sin(x) - \sin(3x)) \)
- (c) \( \sin^4(x) = \dfrac{1}{8}(3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) \)
- (d) \( \sin^5(x) = \dfrac{1}{16}(\sin(5x) - 5\sin(3x) + 10\sin(x)) \)
- (e) \( \sin^6(x) = \dfrac{1}{32}(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x)) \)
Exemples avec solutions détaillées
Cliquez sur chaque exemple pour afficher sa solution détaillée étape par étape.
Exemple 1 : Évaluez \( \displaystyle \int \sin^2(x) \, dx \)
Solution de l'exemple 1 :
L'idée principale est d'utiliser l'identité \( \sin^2(x) = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \) pour réduire la puissance et rendre l'intégrale facilement évaluable :
\[ \int \sin^2(x) \, dx = \int \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \, dx \] \[ = \dfrac{1}{2}\int 1 \, dx - \dfrac{1}{2}\int \cos(2x) \, dx \] \[ = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}\sin(2x) + C \]Exemple 2 : Évaluez \( \displaystyle \int [\sin^2(x) - 16\sin^6(x)] \, dx \)
Solution de l'exemple 2 :
Utilisez les formules de réduction de puissance pour réécrire l'intégrale :
\[ \int [\sin^2(x) - 16\sin^6(x)] \, dx \] \[ = \int \left[\dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) - 16\left(\dfrac{1}{32}\right)(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x))\right] \, dx \] \[ = \dfrac{1}{2} \int [1 - \cos(2x) - 10 + 15\cos(2x) - 6\cos(4x) + \cos(6x)] \, dx \] \[ = \dfrac{1}{2} \int [-9 + 14\cos(2x) - 6\cos(4x) + \cos(6x)] \, dx \] \[ = \dfrac{1}{2} \left( -9x + 7\sin(2x) - \dfrac{3}{2}\sin(4x) + \dfrac{1}{6}\sin(6x) \right) + C \]Exercices
Évaluez les intégrales suivantes. Cliquez sur chaque exercice pour afficher la solution détaillée étape par étape.
Exercice (a) : Évaluez \( \displaystyle \int [8\sin^6(x) - 2\sin^2(x)] \, dx \)
Solution :
Substituez les formules de réduction de puissance pour \( \sin^6(x) \) et \( \sin^2(x) \) :
\[ 8 \cdot \dfrac{1}{32}(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x)) - 2 \cdot \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \] \[ = \dfrac{1}{4}(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x)) - (1 - \cos(2x)) \] \[ = \dfrac{5}{2} - \dfrac{15}{4}\cos(2x) + \dfrac{3}{2}\cos(4x) - \dfrac{1}{4}\cos(6x) - 1 + \cos(2x) \] \[ = \dfrac{3}{2} - \dfrac{11}{4}\cos(2x) + \dfrac{3}{2}\cos(4x) - \dfrac{1}{4}\cos(6x) \]L'intégration terme à terme donne :
\[ \dfrac{3}{2}x - \dfrac{11}{8}\sin(2x) + \dfrac{3}{8}\sin(4x) - \dfrac{1}{24}\sin(6x) + C \]Exercice (b) : Évaluez \( \displaystyle \int [4\sin^4(x) + \sin^2(x)] \, dx \)
Solution :
Substituez les formules de réduction de puissance pour \( \sin^4(x) \) et \( \sin^2(x) \) :
\[ 4 \cdot \dfrac{1}{8}(3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) + \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \] \[ = \dfrac{1}{2}(3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) + \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \] \[ = \dfrac{1}{2}[3 - 4\cos(2x) + \cos(4x) + 1 - \cos(2x)] = \dfrac{1}{2}[4 - 5\cos(2x) + \cos(4x)] \] \[ = 2 - \dfrac{5}{2}\cos(2x) + \dfrac{1}{2}\cos(4x) \]L'intégration terme à terme donne :
\[ 2x - \dfrac{5}{4}\sin(2x) + \dfrac{1}{8}\sin(4x) + C \]