Tutoriel pour trouver des intégrales impliquant des puissances impaires de \( \sin(x) \). Des exercices avec réponses se trouvent au bas de la page. L'intégration de puissances paires du sinus est généralement plus complexe et nécessite des formules de réduction de puissance.
Dans ce qui suit, \( C \) représente la constante d'intégration.
Exemples avec solutions détaillées
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Exemple 1 : Évaluez \( \displaystyle \int \sin^3(x) \, dx \)
Solution de l'exemple 1 :
L'idée principale est de réécrire la puissance de \( \sin(x) \) sous la forme du produit d'un terme avec une puissance de 1 et d'un terme avec une puissance paire :
\[ \sin^3(x) = \sin^2(x) \sin(x) \]Par conséquent, l'intégrale donnée peut s'écrire :
\[ \int \sin^3(x) \, dx = \int \sin^2(x) \sin(x) \, dx \]Utilisez l'identité trigonométrique \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \) pour écrire :
\[ \int \sin^3(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x)) \sin(x) \, dx \]Posons \( u = \cos(x) \), ce qui donne \( \dfrac{du}{dx} = -\sin(x) \) ou \( -du = \sin(x) \, dx \). En substituant dans l'intégrale :
\[ \int \sin^3(x) \, dx = - \int (1 - u^2) \, du = \int (u^2 - 1) \, du = \dfrac{1}{3}u^3 - u + C \]Remplacez \( u \) par \( \cos(x) \) :
\[ \int \sin^3(x) \, dx = \dfrac{1}{3}\cos^3(x) - \cos(x) + C \]Exemple 2 : Évaluez \( \displaystyle \int \sin^5(x) \, dx \)
Solution de l'exemple 2 :
Réécrivez \( \sin^5(x) \) sous la forme \( \sin^4(x) \sin(x) \). Par conséquent, l'intégrale devient :
\[ \int \sin^5(x) \, dx = \int \sin^4(x) \sin(x) \, dx \]Utilisez l'identité \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \) pour réécrire \( \sin^4(x) \) en fonction des puissances de \( \cos(x) \) :
\[ \int \sin^5(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x))^2 \sin(x) \, dx \]Posons \( u = \cos(x) \), ce qui donne \( du = -\sin(x) \, dx \) ou \( -du = \sin(x) \, dx \). En substituant dans l'intégrale :
\[ \int \sin^5(x) \, dx = - \int (1 - u^2)^2 \, du \]Développez et calculez l'intégrale de droite :
\[ = - \int (1 - 2u^2 + u^4) \, du = - \left( u - \dfrac{2}{3}u^3 + \dfrac{1}{5}u^5 \right) + C = -\dfrac{1}{5}u^5 + \dfrac{2}{3}u^3 - u + C \]Remplacez \( u \) par \( \cos(x) \) :
\[ \int \sin^5(x) \, dx = -\left(\dfrac{1}{5}\cos^5(x) - \dfrac{2}{3}\cos^3(x) + \cos(x)\right) + C \]Exercices
Évaluez les intégrales suivantes. Cliquez sur chaque exercice pour afficher la solution détaillée étape par étape.
Exercice 1 : Évaluez \( \displaystyle \int \sin^7(x) \, dx \)
Solution :
Réécrivez sous la forme \( \int \sin^6(x)\sin(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x))^3 \sin(x) \, dx \).
Posons \( u = \cos(x), du = -\sin(x) \, dx \) :
\[ = -\int (1 - 3u^2 + 3u^4 - u^6) \, du = - \left( u - u^3 + \dfrac{3}{5}u^5 - \dfrac{1}{7}u^7 \right) + C \]Remplacez \( u \) par \( \cos(x) \) :
\[ = \dfrac{1}{7}\cos^7(x) - \dfrac{3}{5}\cos^5(x) + \cos^3(x) - \cos(x) + C \]Exercice 2 : Évaluez \( \displaystyle \int \sin^9(x) \, dx \)
Solution :
Réécrivez sous la forme \( \int \sin^8(x)\sin(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x))^4 \sin(x) \, dx \).
Posons \( u = \cos(x), du = -\sin(x) \, dx \) :
\[ = -\int (1 - 4u^2 + 6u^4 - 4u^6 + u^8) \, du \] \[ = - \left( u - \dfrac{4}{3}u^3 + \dfrac{6}{5}u^5 - \dfrac{4}{7}u^7 + \dfrac{1}{9}u^9 \right) + C \]Remplacez \( u \) par \( \cos(x) \) et réordonnez par puissances décroissantes :
\[ = -\dfrac{1}{9}\cos^9(x) + \dfrac{4}{7}\cos^7(x) - \dfrac{6}{5}\cos^5(x) + \dfrac{4}{3}\cos^3(x) - \cos(x) + C \]