Utilisez la méthode du disque autour de l'axe des x pour trouver le volume d'un tronc de cône.
Dans ce qui suit, \( C \) représente la constante d'intégration.
Formule du volume d'un tronc de cône
Problème : Trouver le volume d'un tronc de cône de hauteur \( h \) et de rayons \( r \) et \( R \) tel que présenté ci-dessous.
Solution du problème :
Un tronc de cône peut être obtenu en faisant tourner \( y = mx \) entre \( x = a \) et \( x = b \) autour de l'axe des x comme indiqué ci-dessous. La hauteur \( h = b - a \).
En faisant tourner un disque (rouge) de rayon \( y \) (donc d'aire \( \pi y^2 \)) et d'épaisseur \( dx \), le volume \( V \) du tronc de cône peut s'écrire :
\[ V = \int_a^b \pi y^2 \, dx \quad (I) \]La pente \( m \) est donnée par :
\[ m = \dfrac{R - r}{h} \]où \( h \) est la hauteur du tronc de cône donnée par :
\[ h = b - a \]Substituez \( y \) par \( mx \) dans l'équation (I) et écrivez :
\[ V = m^2 \pi \int_a^b x^2 \, dx \]Évaluez l'intégrale :
\[ V = m^2 \pi \left[\dfrac{1}{3} x^3 \right]_a^b \] \[ \qquad = \dfrac{1}{3} m^2 \pi (b^3 - a^3) \quad (II) \]Notez que :
\[ r = m a \quad \text{et} \quad R = m b \]Par conséquent :
\[ a = \dfrac{r}{m} \quad \text{et} \quad b = \dfrac{R}{m} \]Substituez ces valeurs dans l'équation (II) :
\[ V = \dfrac{1}{3} m^2 \pi \left(\left(\dfrac{R}{m}\right)^3 - \left(\dfrac{r}{m}\right)^3\right) \]Simplifiez :
\[ V = \dfrac{1}{3 m} \pi \left(R^3 - r^3\right) \]Substituez \( m \) par \( \dfrac{R - r}{h} \) dans l'expression ci-dessus et réécrivez :
\[ V = \dfrac{\pi h}{3} \dfrac{\left(R^3 - r^3\right)}{R - r} \quad (III) \]Notez qu'en utilisant la division polynomiale à deux variables, \( \dfrac{R^3 - r^3}{R - r} \) peut se simplifier ainsi :
\[ \dfrac{R^3 - r^3}{R - r} = R^2 + rR + r^2 \]Substituez cette expression dans l'équation (III) pour obtenir la formule finale du volume du tronc de cône :
\[ \Large \displaystyle \boxed{V = \dfrac{\pi h}{3} \left(R^2 + rR + r^2\right)} \]