Théorèmes des première et seconde dérivées

Extrema, points stationnaires, tests de la première & seconde dérivée

Un tutoriel sur la façon d'utiliser les théorèmes d'analyse utilisant les première et seconde dérivées pour déterminer si une fonction possède un maximum ou un minimum relatif ou aucun des deux en un point donné. Ce sont quelques-uns des théorèmes les plus importants pour la résolution de problèmes.

Dans ce qui suit, \( C \) représente la constante d'intégration le cas échéant.

Théorèmes d'analyse et tests

Théorème 1 - Point stationnaire

Si la fonction \( f \) possède un minimum ou un maximum relatif en \( x = a \), on a soit \( f'(a) = 0 \) (point stationnaire), soit \( f'(a) \) n'existe pas.

Graphique d'une fonction et de sa dérivée pour expliquer le théorème 1
Figure 1. Théorème 1 : Fonction \( f \) et sa dérivée \( f' \)

À titre d'exemple, le graphique de \( f \) et de sa dérivée \( f' \) est présenté ci-dessus. Au maximum (\( x = 2 \)) et au minimum (\( x = -2 \)) de \( f \), on a \( f' = 0 \).

Théorème 2 - Test de la première dérivée

Soit \( f \) une fonction continue.

  • 2.a - Si \( f'(a) = 0 \) ou si \( f'(x) \) n'existe pas en \( x = a \) et si \( f'(x) < 0 \) à gauche de \( a \) et \( f'(x) > 0 \) à droite de \( a \), alors \( f \) possède un minimum relatif en \( x = a \).
  • 2.b - Si \( f'(a) = 0 \) ou si \( f'(x) \) n'existe pas en \( x = a \) et si \( f'(x) > 0 \) à gauche de \( a \) et \( f'(x) < 0 \) à droite de \( a \), alors \( f \) possède un maximum relatif en \( x = a \).

Les points 2.a et 2.b peuvent clairement être vérifiés à l'aide du graphique de la figure 1 ci-dessus.

  • 2.c - Si \( f'(a) \) conserve le même signe à gauche et à droite de \( x = a \), alors \( f \) ne possède ni minimum ni maximum.

Le graphique de la figure 2 ci-dessous montre la courbe d'une fonction \( f \) qui ne possède ni minimum ni maximum, et dont la première dérivée ne change pas de signe.

Graphique d'une fonction et de sa dérivée pour expliquer une partie du théorème 2
Figure 2. Théorème 2 : La fonction \( f \) et sa dérivée \( f' \) ne changent pas de signe

Théorème 3 - Test des première et seconde dérivées

Supposons que \( f' \) et \( f'' \) existent toutes deux en \( x = a \) et que \( f'(a) = 0 \) (point stationnaire).

  • 3.a - Si \( f''(a) > 0 \), \( f \) possède un minimum relatif en \( x = a \).
  • 3.b - Si \( f''(a) < 0 \), \( f \) possède un maximum relatif en \( x = a \).
  • 3.c - Si \( f''(a) = 0 \), aucune conclusion ne peut être tirée ; utilisez le théorème 2 ci-dessus.

Voici ci-dessous le graphique de la fonction \( f \), de sa première dérivée \( f' \) et de sa seconde dérivée \( f'' \). Nous pouvons facilement vérifier que :

  1. Au point (\( x = -2 \)) où \( f'(-2) = 0 \) et \( f''(-2) < 0 \), \( f \) possède un maximum relatif.
  2. Au point (\( x = 2 \)) où \( f'(2) = 0 \) et \( f''(2) > 0 \), \( f \) possède un minimum relatif.
Graphique d'une fonction et de ses dérivées pour expliquer le théorème 3
Figure 3. Théorème 3 : La fonction \( f \), sa première dérivée \( f' \) et sa seconde dérivée \( f'' \)

Plus de références et de liens vers des problèmes d'analyse